Реферат

на тему:

Випадкова величина

Для випадкової величини є характерним, що ми не можемо заздалегiдь вказати значення,

яке вона прийме, хоча, з iншого боку, множина її можливих значень вважається вiдомою. Ця

множина може бути обмеженою або необмеженою. Проте для повного визначення випадкової

величини необхiдно вказати ще їх ймовiрностi, точнiше ймовiрностi на множинi значень.

Наприклад, для дискретних випадкових величин о, що приймають випадково те чи iнше

значення x (на дiйснiй прямiй R1) iз злiченної множини X усiх можливих значень для о,

можна визначити вiдповiднi ймовiрностi

P?(x) = P{о = x}, xЃё X . (4.1)

Як приклад розглянемо схему незалежних випробувань i проаналiзуємо випадкову вели-

чину - кiлькiсть успiхiв. У цьому дослiдi простiр елементарних подiй ? складається iз 2n

елементарних подiй щ - послiдовностей типу щ = {щ1щ2щ1 . . .щ1}. У схемi випробувань Бер-

нуллi нас цiкавили подiї Ak, k = 0, 1, . . . , n, де Ak - тi послiдовностi, якi мiстять у собi k успiхiв

щ1. Таким чином, Ak мiстить Ck

n таких елементарних подiй щ, i оскiльки ймовiрнiсть кожного

з них дорiвнює P({щ}) = pkqn?k, то Pn(Ak) = Ck

npkqn?k. Розглянемо функцiю о = о(щ), що

визначена на ? за допомогою рiвностей

о(щ) = k, щ Ѓё Ak, k= 0, 1, . . . , n . (4.2)

Визначена таким чином функцiя о(щ) описує кiлькiсть успiхiв у серiї iз n незалежних випро-

бувань Бернуллi. Позначимо {щ : о(щ) = k} множину тих щ, для яких о(щ) = k. Тобто, за

визначенням

Ak = {щ : о(щ) = k}, Pn({щ : о(щ) = k}) = Ck

npkqn?k . (4.3)

Звичайно використовується iнший запис

Pn(k) = Ck

npkqn?k = Pn{о(щ) = k}, k= 0, 1, . . . , n . (4.4)

32

4.2. Функцiї розподiлу 33

Такий запис називається розподiлом випадкової величини о. Таким чином, випадкова ве-

личина - кiлькiсть успiхiв у серiї iз n незалежних випробувань Бернуллi має бiномiальний

розподiл.

У даному прикладi випадкова величина о приводить до множини ?, яка складається з

усiх значень величини о, тобто ? = {0, 1, . . ., n}. Алгебра усiх пiдмножин множини значень

о складається з усiх пiдмножин множини ?. Таким чином, iз випадковою величиною о по-

в’язаний новий ймовiрнiсний простiр (?, F, P), в якому простором елементарних подiй ? є

множина значень випадкової величини о, F - алгебра усiх пiдмножин ?; ймовiрнiсть P зв’я-

зана iз ймовiрнiстю P на початковому ймовiрнiсному просторi за допомогою формули (4.4):

P({k}) = Pn(k).

Випадкова величина о = о(щ) задає вiдображення простору (?, F, P) на простiр (?, F, P).

При цьому кожнiй точцi k Ѓё ? вiдповiдає її прообраз в ? - множинi {щ : {о(щ) = k} Ѓј ?}.

Задання о(щ) еквiвалентно розбиттю ?:

? = {щ : о(щ) = 0} + {щ : о(щ) = 1} + . . . + {щ : о(щ) = n} .

Твердження ” о попадає в A Ѓј F ” i ” щ попадає в A Ѓј F ” є еквiвалентними. Є характерним

те, що в теоретико-ймовiрнiсних задачах явна залежнiсть о = о(щ) вiд щ, як правило, не

вiдiграє ролi.

Розглянемо ще один приклад випадкової величини. Розглянемо простiр елементарних

подiй ?, який складається iз нескiнчених послiдовностей щ = (щ1, щ2, . . .) випробувань. Не-

хай щ мiстить k успiхiв щ1, а подiя Ak складається iз усiх таких щ (якi k разiв мiстять щ1 -

процес Пуассона). Покладемо за означенням

P(Ak) =

лke??

k!

, k= 0, 1, . . . (4.5)

i визначимо випадкову величину о рiвнiстю о(щ) = k, щ Ѓё Ak. Ця випадкова величина має

розподiл Пуассона, оскiльки P(о = k) =

лk

k!

e??, л >0, k = 0, 1, . . ..

Це були приклади дискретних випадкових величин. У загальному випадку випадкова

величина визначається таким чином.

Означення. Нехай (?, F, P) - ймовiрнiсний простiр. Випадковою величиною о називається

однозначна дiйсна функцiя о = о(щ), що визначена на ?, для якої множина елементарних

подiй вигляду {щ : о(щ) < x} є подiєю (тобто належить F) для кожного дiйсного числа x Ѓё R1.

Таким чином, в означеннi необхiдно, щоб для кожного x Ѓё R1 множина {щ : о = о(щ)} Ѓё F, i

ця умова гарантує, що для кожного x визначена ймовiрнiсть подiї {о < x} : F(x) = P{о < x}.

(Запис {о < x} означає те жсаме, що i {щ : о(щ) < x}).