Довжина кола

Мета: вивести формулу довжини кола та показати її практичне застосування до розв'язування задач; розвивати логічне мислення, вміння аналізувати; викликати інтерес до матеріалу, що вивчається; роз-ширювати кругозір учнів.

Обладнання: циліндри, конуси, нитки, лінійки, ножиці, МК.

Хід уроку.

І. Актуалізація опорних знань учнів.

Запитання

І. Дати означення правильних многокутників. Навести приклади.

2. Сформулювати властивість правильних много-кутників.

3. Дати означення кола, його радіуса, діаметра.

II. Мотивація пізнавальної діяльності учнів.

Девіз уроку: «Природа говорить мовою математи-ки, букви цієї мови: трикутники, кола,..»

Г.Галілей

Недаремно італійський математик і фізик Галілео Галілей назвав буквою мови математики коло.

Людей здавна цікавили круглі тіла. Дивлячись вночі на небо, вони бачили круглий Місяць. Кинув-ши камінець на спокійну поверхню води, спостері-гали хвилі у вигляді кіл. А скільки циліндричних, конічних, круглих тіл було в оточенні людей?! Дав-ньогрецький учений Фалес ще в VI ст. до н.е. дав поняття кола та сформулював його властивість про те, що діаметр розбиває коло на дві рівні частини.

Закономірно постає питання про довжину кола.

III. Повідомлення теми та мети уроку.

IV. Вивчення нового матеріалу.

Кожній парі учнів даються круглі тіла: циліндри та конуси з різними діаметрами основ, їх завдання: користуючись ниткою і лінійкою, визначити довжи-ну кола основи циліндра чи конуса. Знайдені резуль-тати записати в таблицю, накреслену на дошці.

Таблиця

1

d

Обчисливши відношення, учні роблять висновок про його сталість.

Доведемо теорему: відношення довжини кола до його діаметра не залежить від кола, тобто одне й те саме для будь-яких двох кіл.

Доведення

Нехай R1 і R2 — радіуси двох кіл, l1, і l2 — їх довжини. Припустимо, що

наприклад

Впишемо в дані кола правильні многокутники з великою кількістю сторін n. Якщо , то. Тому

Периметри вписаних правильних многокутників відносяться як радіуси кіл, тобто

Звідси

або

А це суперечить нерівності (2). Отже, наше при-пущення неправильне. Тому

. Відношення довжини кола до діаметра прийнято позначати буквою . Це позначення першим увів англійський математики У.Джонс у 1706 p., узявши першу букву грецького слова, що в пе-рекладі означає край або обвід круглого тіла. Л.Ейлер, скориставшись символом я у своїх роботах, зро-бив його загальновживаним.

Послухайте вірш про цю властивість кола.

У мене властивостей багато.

Одну вам варто нагадати:

Відношення довжини кола до діаметра

Для всіх нас є завжди незмінним,

Приблизно 3 і рівним.

За двісті років до нашої ери

Його обчислив мудрий Архімед,

Майбутнє наперед йому відкрило двері.

Відношення це в світі знають

І « » числом його всі називають...

Вперше обчислив на основі теоретичних мірку-вань Архімед (287—212 pp. до н.е.). Він користувався дробом, який захований у вірші:

22 сови сиділи,

Заповзято говорили,

Як їм 7 мишей зловити,

Що для цього слід зробити.

7 мишей, що грають в жмурки,

У яких гладенькі шкурки...

Хоч спіймати їх і важко,

Та кортіло побалакать. .

22 сови старенькі

Мріють 7 мишей зловити.

Який це дріб?

Китайські математики ще в V ст. для обчислення довжини кола користувалися числом, яке тепер на-зивають числом Меція. Його до шостого десятково-го знака обчислив голландський інженер Адрієн Антонич (1543—1620), відомий як Мецій, оскільки народився в м. Мец. Це дріб.

Число – ірраціональне, його можна виразити нескінченним неперіодичним десятковим дробом.

У 1579 р. Франсуа Віст, застосовуючи спосіб Архімеда, знайшов перші 9 точних десяткових знаків числа . У Середній Азії уже півтора століття були відомі 16 десяткових знаків, що ж обчислив в обсерваторії по-близу Самарканда астроном і математик ал-Каші. Не-вдовзі після Вієта його сучасник — фламандський ма-тематик Андрієн Ван Роомен також обчислив 16 точ-них десяткових знаків числа к.

Англійський математик і обчислювач Абрагам Шарп у 1705 р. обчислив 72 знаки числа . З винахо-дом ЕОМ їх було знайдено десятки тисяч. Ми зде-більшого користуватимемося значенням 3,14.

V. Розв'язування вправ.

Номери наведено за підручником: Погорелов О.В. Геометрія: Планіметрія: Підруч. для 7—9 кл. серед, шк. — К.: Освіта, 2001.

1. § 13, № 34 (а) (колективно).

2. № 34 (б) (самостійно). .

3. №35.

Розв'язання

ll-l2=2 (Rl-R2),

l1-l23,14-1=6,28 (мм).

Відповідь. 6,28 мм.

4. Один з героїв Жуля Берна підраху-вав, яка частина його тіла пройшла дов-ший шлях за час його кругосвітньої подо-рожі — голова чи ноги...

Уявімо, що він ішов по екватору. На скільки при цьому голова пройшла більше, ніж ноги? Розв'язання

Ноги пройшли шлях 2R (R = 6370 км), а голова 2 (R + а), де а — зріст людини. Голова пройшла

більше, ніж ноги на 2 (R + а)- 2R = 2а . Якщо а = = 1,8 м, то 2а = 2R-1,82·3,14·1,8 = 11,3 м. (Обчислення виконуються з використанням МК.) 5. Зашифроване певним чином слово — назва найдовшого в світі дерева. Якщо відповісти на запи-тання і скористатися шифром, можна дізнатися, що це за дерево.

Запитання

1. Формула довжини кола.

2. Відстань від центра кола до будь-якої його точки.

3. Відношення довжини кола до його діаметра.

4. Відрізок, що сполучає дві точки кола.

5. Хорда, яка проходить через центр кола.

6. Частина круга між двома радіусами.

7. Значення числа тс, яке використовував Архі-мед.

Шифр

сектор — й,

2R —c, хорда — в,

— к,

діаметр — о, радіус — е.

Секвойя — найтовще дерево, що росте у північній Америці. У штаті Каліфорнія (США) є унікальне дерево, діаметр якого 45 м. Підрахуйте за допомогою МК, скільки осіб можуть охопити його, взявшись за руки, якщо одна людина може охопити дерево з дов-жиною кола перерізу 1,5 м.

VI. Підсумок уроку.

VII. Домашнє завдання.

П. 119, №39.

Література

1. У пошуках числа // Математика. — 1999. — № 1.

2. Бобров С.П. Чарівний дворіг. — К.: Наук, думка, 1971.

3. Бугай Л.С. Короткий тлумачний математичний слов-ник. — К.: Рад. шк., 1964.