Розв'язування прикладних задач з теми «розв'язування трикутників»

Під час вивчення теми з геометрії в 9-му класі «Розв'язування трикутників» 3 години відводиться на розв'язування прикладних задач. Пропоную роз-робку цих трьох уроків.

УРОК 1

Тема. Розв'язування прикладних задач.

Мета: формувати в учнів уміння і навички творчо-го застосування знань з теми до розв'язування при-кладних задач; показати практичну спрямованість ма-тематичних знань; розвивати логічне мислення учнів, виробляти в них потребу в засвоєнні знань, виховува-ти любов та інтерес до математики.

Обладнання: таблиці, картки із завданнями, алго-ритми.

ХІД УРОКУ І. Актуалізація опорних знань учнів.

Закінчити речення (усно):*

Квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без...*

Сторони трикутника пропорційні до...*

Кожне з відношень дорівнює...

Ви пригадали теореми синусів, косинусів та наслідки з них, які застосовуються для розв'язування трикут-ників.

Запитання до учнів

1. Що означає розв'язати трикутник?

2. Скільки елементів потрібно знати, щоб розв'яза-ти трикутник?

3. Які типи задач на розв'язування трикутників ми розглянули?

4. Повторіть алгоритми розв'язування кожного типу задач (алгоритми є на картці в кожного учня).

II. Мотивація навчальної діяльності учнів.

Для чого ми вивчаємо розв'язування трикутників? Чи потрібне воно в повсякденному житті? (Учні відповідають.)

Ш. Повідомлення теми і мети уроку.

Історична довідка

Прикладна математика — це окрема математична наука. Існує вона кілька тисячоліть. Учені Стародав-нього Єгипту обчислювали площі полів і об'єми при-міщень, уся математика тоді була прикладною. У V— IV ст. до н.е. в Греції почала створюватися теоретична

(чиста) математика. У юнці другого семестру на уроках алгебри ви будете вивчати елементи прикладної матема-тики, якою ця наука є нині Значний вклад у розвиток прикладної математики вніс український математик Михайло Кравчук (демонструється портрет).

IV. Розв'язування задач.

1. До уроку кілька учнів підготували розв'язання задач, з якими по черзі ознайомлюють усіх учнів кла-су. Всі записують розв'язання в зошитах.

Задача 1. Визначити висоту об'єкта:

а) до основи якого можна підійти;

б) основа якого недоступна.

а) Вибираємо на місцевості точку А.

Дано:

АС = а\

BAC = .

Знайти:

ВС.

Розв'язання

ВС = АС tgA4C = a-tga.

Відстань АС вимірюємо на місцевості рулеткою, Z ВАС вимірюємо за допомогою астролябії.

Розв'язання

На прямій, що проходить через основу Н об'єк-та, позначимо дві точки В і С. Відстань ВС і кути АБИ, АСВ вимірюємо. Нехай ВС = а., Z.ABH = a, ZACB = $.

За цими даними можна знайти всі елементи А АВС.

/LABC — зовнішній кут трикутника АНВ, суміж-ний з кутом а. Z АВС = 180е — а; ZВАС= 180е - ((180е - а)+ Р)= = 180°- 180°+ а - р = а-р.

ВС = АВ . sin(a - р) sin p '

.д _ -gC-sinp g-sinp sin(a - Р) sin(a - Р)

Шукана висота є елементом Ь.АНВ. З ЬАНВ (Z#=90e):

.„. . п . а * sin a- sin p AH = AB-sma =——————. sui(a - P)

Задача 2. Знаходження відстані до недоступної точ-ки: знайти відстань між точками А і В, розділеними перешкодою.

Розв'язання

Вибираємо на місцевості точку С. Вимірюємо кути А і С, а також відстань АС.

Нехай Z^4 = a, ZC = y,AC= b. Задача зведеться до розв'язування трикутника за стороною та двома прилеглими до неї кутами.

Знаходимо Z# Z5= 180° — (a + у) = p.

За теоремою синусів знаходимо АВ:

АВ АС . ло AC-sin j b-sinj -— = -—-, звідки АВ = ——. = —г-г1. sin у sinp sinp sinp

Задача 3. Визначити ширину річки.

Розв'язання

На протилежному березі річки вибираємо видимий нам предмет (дерево, кущ).

На березі річки позначаємо два пункти А і В, відстань між якими вимірюємо: АВ = а. Кути CAB і

СВА також вимірюємо. Z CAB = a, Z CBA = р. Зада-ча зводиться до розв'язування трикутника за сторо-ною та двома прилеглими до неї кутами. ZC= 180e-(a + p)= у.

АВ _ АС . с_ ЛД-sinp^ д-sinp sin у sinp' sin у sin у

~п л~ . a-sin a-ship CD = AC * sin a = ——————-. sin у

Задача 4. Два туристи вирушили по двох прямолі-нійних дорогах, які виходять з однієї точки під кутом a. Перший рухається зі швидкістю vl км/год другий — зі швидкістю v2 км/год. Яка відстань буде між ними через t год?

Розв'язання АВ = v,/i AC = v2/.

За теоремою косинусів шукана відстань буде | ВС = д/vf /2 + v^ /2 - 2 v, v214 cosa . І

2. Колективне розв'язування за готовим малюнком \ на таблиці.

Задача 5. На горі знаходиться башта, висота якої 100 м. Спостерігач А, що стоїть біля підніжжя гори, ба-чить вершину баш-ти під кутом 60° до горизонту, а вер-шину гори — під кутом 30° до гори-зонту. Знайти ви-соту гори.

Розв'язання

Нехай висота башти ВС = 100 м, висота гори BD =

= Е, Z CAD = 60°,

Z BAD = 30b. Тоді ЛАВС = 90° + 30е = 120°; Z CAB = = 30°, Z^C5 = 30°,TOMyA8 = BC=100M. H =^AB =

= 50м.

Відповідь. 50 м.

3. Групове розв'язування задач.

Учні сідають групами. У кожній групі учитель при-значає консультанта. Групи одержують картки із зав-даннями. Учні розв'язують задачі, представники від груп пояснюють розв'язання.

Картка № 1

Знайти відстань від точки А до недоступної точки

С, якщо ЛА = 58°ІГ, Z5 = 72°30', АВ = 80 м.

Розв'язання

ZC = 180° - (ЗВЧГч- 72°300 = 180° - ІЗОЧГ = 4918'

АВ _ АС АВ sin В = 80 * sin 72°ЗГ _ sinC sin В' sinC