Площа трикутника Урок з геометрії в 9-му класі

Тема. Площа трикутника. Розв'язування задач.

Мета: повторити формули для знаходження площі трикутника; закріпити навички використання фор-мул для розв'язування складніших задач; виховувати в учнів свідоме ставлення до праці, потребу в само-стійному здобутті знань.

ХІД УРОКУ І. Актуалізація опорних знань учнів.

1. Сформулювати означення площі та її власти-вості.

2. Сформулювати і записати формули для обчис-лення площі трикутника.

II. Перевірка домашнього завдання.

1. Четверо учнів розв'язують задачі, аналогічні до тих, що пропонувалися для домашнього виконання.

Задача 1. Бічна сторона й основа рівнобедреного трикутника відносяться як 5 : 6. Обчислити площу трикутника, якщо проведена до основи висота дорів-нює 24 см.

Розв'язання

Нехай ABC — даний рівнобедрений трикутник, АВ : АС =5:6, BD = 24 см. Для обчислення площі трикутника ABC використаємо формулу

S = .

Нехай х — довжина одиничного відрізка, тоді АВ = = 5х см, АС = 6х см, BD — висота, медіана і бісектри-са трикутника ABC, оскільки він — рівнобедрений.

Тому

AD = ^AC = 3x (см).

З трикутника ABD (Z D = 90е): АВ2 = BD2 + AD1, 25*2=9х2 + 242,

X = 6, ОСКІЛЬКИ X > 0 .

Тому АС = 6 * 6 = 36 (см). Отже,

5 =— 36-24 = 432 (см2). Відповідь. 432 см2.

Задача 2. Висота прямокутного трикутника, опу-щена на гіпотенузу, ділить її на відрізки 16 см і 9 см. Обчислити площу трикутника.

Розв'язання

Нехай BD = 16 см, DC =9 см.

Площу трикутника обчислимо за формулою S =

Оскільки AD2 = DC-BD, то

,

Відповідь. 150 см2.

Задача 3. Бісектриса прямого кута прямокутного трикутника ділить гіпотенузу на відрізки 15 см і 20 см. Обчислити площу трикутника.

Розв'язання

Нехай дано прямокутний трикутник ABC, у якого A= 90o. Тоді

Бісектриса кута трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, які пропорційні двом іншим сто-ронам. Тому маємо:

АС: АВ = CD: BD = 15:20 =

Нехай х — довжина одиничного відрізка, тоді АС = Зх см, АВ = 4х см. За теоремою Піфагора

ВС2=АВ2+АС2,

352=9х2+16х2,

х= 7, оскільки x > 0.

Тому АС = 21 см, АВ = 28 см,

Відповідь. 294 см2.

Задача 4. Обчислити площу трикутника, якщо його сторони а = 13, b = 14, с = 15.

Розв'язання

За формулою Герона площа трикутника

,

, де a, b, c – сторони трикутника

Відповідь. 84 см2.

2. У той час, поки четверо учнів працюють над індивідуальними завданнями, інші учні класу усно розв'язують задачі.

Задача 5. Знайти площу рівностороннього трикут-ника зі стороною а.

Задача 6. Знайти площу прямокутного трикутни-ка за гіпотенузою с та гострим кутом 30е.

Задача 7. На медіані BD трикутника ABC взято довільну точку М. Довести, що площі трикутників АВМ і СВМ рівні.

III. Розв'язування задач.

Задача 8. Перпендикуляр, опущений з середини основи на бічну сторону рівнобедреного трикутника, ділить її на два відрізки 9 см і 16 см, починаючи від вершини, яка протилежна основі. Обчислити площу трикутника.

Розв'язання

ВМ — медіана і висота трикутника ABC. Тоді MD це висота, проведена з вершини прямого кута три-кутника ВМС на гіпотенузу, BD = 9 см, DC = 16 см.

MD2= ВD,

MD=

З

Тоді

AC = 2MC = 40 (cm).

Площа триктуника ABC

5 = 1.15-40 = 300 (СМ2). Відповідь. 300 см2.

Задача 9. Знайти площу рівнобедреного трикутни-ка, основа якого дорівнює ЗО см, а периметр — 80 см. Розв'язання

Нехай основа АС рівнобедреного трикутника ABC дорівнює ЗО см. Його площа

S = jAC-BD,

де BD L АС. .

АВ = ВС, тому периметр трикутника р — 2АВ + + АС, звідки

АВ = 1(р-ЛС),

АВ = 1(80-ЗО) = 25 (ем). З AABD (ZD=90°):

BD = JAB2 - №jAC\ = V625-225 = 20 (см), тому

5 = |-20-30 = 300 (см2). Відповідь. 300 см2.

Задача 10. Висота прямокутного трикутника, про-ведена до гіпотенузи, ділить гіпотенузу на частини, одна з яких на 7 см більша за іншу. Знайти площу трикутника, якщо проведена висота дорівнює 12 см. Розв'язання

Площу трикутника ABC обчислимо за формулою

.

Нехай х см — довжина DC, тоді BD = (х + 7) см. З ABC (А = 90е) за властивістю висоти, про-веденої до гіпотенузи, маємо:...

AD2 = BD DC,

122=х (x+ 7),

x2 + 7x-144 = 0,

x1 = 9, x2 = -16.

Оскільки за умовою задачі х> 0, то DC = 9 см, BD = 9 + 7 = 16 (см).

Отже,

(9 + 16) = 6·25 = 150 (см2).

Відповідь. 150 см2.

Задача 11. Сторони трикутника дорівнюють 40 см і 25 см, а висота, проведена до третьої сторони, до-рівнює 24 см. Знайти площу трикутника. Розв'язання

Нехай АВ = 40 см, ВС = 25 см, BD АС, BD = 24 см.

З:

Тому АС = 32. + 7 = 39 (см). Площа трикутника

S = -AC-BD = ~39-24=468 (см2). Відповідь. 468 см2. . IV. Підсумок уроку.