ОСНОВНІ ОЗНАЧЕННЯ
Перш за все нагадаємо основні означення з теорії узагальнених функ-цій. Функція називається фінітною в R, якщо існує компакт, такий що. До множини основних функцій D(R) (надалі просто D) віднесемо всі фінітні нескінчено-диференційовані в R функції. Збіжність в D визначимо наступним чином. Послідовність функцій збігається до функції , якщо існує компакт такий, що , supp, і для кожного п маємо
де " "позначає рівномірну збіжність. В цьому випадку будемо писати. Введена множина із вище вказаною збіжністю називається
простором основних функцій. Якщо носій основної функції лежить на додатній півосі, то кажуть, що ця функція належить простору Т>+. Оче-видно, що D+ є підростором D. Збіжність тут визначається так само.
Через S = S(R) позначимо простір швидко спадних функцій, тоб-то простір нескінчено-диференційованих в R функцій, які спадають при разом зі всіма похідними швидше довільного степеня .
Введемо в S злічене число норм за формулами
Очевидно, що
Збіжність в S визначимо наступним чином: послідовність функцій з S збігається до нуля в S , якщо для всіх п і m
Ясно, що Однак, S не співпадає з D; наприклад, функція належить S, але не належитьD. Тим не менше, D щільне в S.
Означення. Узагальненою функцією, заданою в R (в R+), називається будь-який лінійний неперервний функціонал на просторі основних функцій D (відповідно на D+).
Сукупність всіх узагальнених функцій позначатимемо через D' (від-повідно -D'+). Значення функціоналу (узагальненої функції) f на основ-ній функції будемо записувати .
Визначимо збіжність в D' (відповідно в D'+). Послідовність узагаль-нених функцій f1, f2, … з D' (відповідно з D'+) збігається до узагальненої функції (відповідно до), якщо для довільної основної функції (відповідно) маємо.^ {/,<Ј}* В цьому випадку будемо писати:
Введена збіжність називається слабкою збіжністю.
Узагальнені функції, взагалі кажучи, не мають значень в окремих ; точках. Тим не менше можна говорити про обертання в нуль узагальненої функції у відкритій множині. Кажуть, що узагальнена функція обертається в нуль у відкритій множині якщо її звуження на О є нульовим функціоналом із D', тобто для всіх таких, що supp.
Нехай, узагальнена функція має компактний носій в R (в R+). Сукупність всіх таких функцій позначимо через (від-повідно через . Збіжність в цьому просторі індукується з простору D' (відповідно з ).
Означення. Узагальненою функцією повільного росту називають будь-який лінійний неперервний функціонал на просторі S.
Позначимо через множину всіх узагальнених функцій по-f вільного росту, а через S'+ - множину всіх узагальнених функцій повіль-ного росту, що діють на функції з S+l.
Збіжність в S' визначимо як слабу збіжність послідовності функ-ціоналів. Лінійна множина S' з введеною в ній збіжністю називається простором узагальнених функцій повільного росту. Очевидними є нас-тупні включення
.
Нагадаємо, що згорткою двох звичайних функцій називається інте-грал (якщо він існує), який позначається f*g.
Якщо,, то Згорткою двох узагальнених функцій назвемо
де Наведемо основні властивості згортки (доведення див. у [1]).
а) Якщо згортка f*g існує, то існує згортка g*f і вони рівні:
f*g = g*f;
б) Згортка довільної узагальненої функції з -функцією існує і рівна f;
в) Якщо згортка f*g існує, то існують згортки f*g і f*g, при-чому
f*g = (f*g) = f*g;
г) Якщо згортка f*g існує, то
supp f*g
а) А щільно визначений і замкнений;
б) існує такі, що і
Якщо півгрупа стиску, то вказана теорема формулюється наступним чином:
Теорема. Лінійний оператор А : D(A) U U е генератором підгрупи стиску на U тоді і тільки тоді, коли
а) А щільно визначений і замкнений;
б) виконуються наступні умови
4. ФУНКЦІОНАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ
Нехай А - генератор півгрупи, яка діє в банаховому просторі U і підпростір D+(A) в U визначений співвідношенням
Теорема 1. Якщо - С0-півгрупа, то.
Доведення. Відомо [1], що для будь-якого j Z+ можна визначити функцію з властивостями:
Враховуючи відомі властивості інтегралу від неперервних функцій із значеннями в банаховому просторі [2], для довільного х U маємо
Оскільки etA - Со-півгрупа, то
Отже, і теорема доведена. *
Довільній узагальненій функції поставимо у відповідність
лінійний оператор f(A), який заданий на підпросторі D+(A) і діє за
формулою
Коректність такого визначення випливає з того, що для маємо.
Теорема 2. Нехай - Со-півгрупа. Тоді:
а) для довільної узагальненої функції f S'+ знайдеться послідов-ність узагальнених функцій fj Ј'+ така, що в банаховому просторі U послідовності збігаються для кожного х U;
б) визначений лінійний оператор f(A), який на D+(A) діє за прави-лом
в) відображення з простору S'+ із слабкою топологією в банахів прос-тір U вигляду
лінійне і неперервне для кожного х U.
Доведення. Для С-------о-півгрупи відома оцінка , де
числа не залежать від t [10]. Нехай послідовність збігається до при в слабкій топології простору S'. Тоді послідовність збігається до по нормі простору U для довільного хU. Справді, із наведеної оцінки і відомих властивостей інтегралу від функції із значенням в просторі U випливає
де останній інтеграл визначений, оскільки підінтегральні функції мають компактні носії.
В алгебрі , наділеній слабкою топологією, згортка неперервна по одній змінній при фіксованій другій. Тому справедлива наступна імплі-кація
Користуючись відомими [2] властивостями слабкої неперервності інтегралу від функцій із значеннями в просторі 5', одержуємо
де - значення деякої узагальненої функції із S'+ на функції . Звідси
Що і треба було показати.
Таким чином, відображення із простору , наділеного слабкою то-пологією простору S'+, в банахів простір U вигляду (3) неперервне для кожного х U. Відомо [2], що простір щільно вкладений в простір S'+ із слабкою топологією. Тому існує неперервне розширення ФA із на тобто для кожної узагальненої