фа : S'+ f

називається узагальненим функціональним численням. Встановимо його основні властивості.

Теорема 3. Відображення ФA володіє наступними властивостями:

а) похідна -функції від генератора С0-півгрупи діє як відповідна сте-пінь А, а саме

б) оператор ( А) можна розширити до одиничного оператора прос-* тору U. :

;

в) справедлива формула композиції:

.

Доведення.

а) Розпишемо згортки -функції і її похідних з основною функцією ^

Використовуючи щойно знайдені співвідношення отримуємо наступне

Застосуємо п раз формулу інтегрування по частинах і скористаємося фінітністю функції :

що і треба було довести.

Для доведення в) розпишемо кожну частину подвійної рівності у фор-мулі композиції:

Справедливі наступні рівності:

Справді, існування згорток доведено, наприклад, у книзі [5]. Доведемо першу рівність:

.

Для доведення другої рівності достатньо скористатися комутативністю згортки двох узагальнених функцій [1]. Теорема доведена. *

5. ПРИКЛАД СТЕПЕНЕВОЇ ПІВГРУПИ

Відомо [б], що в згортковій алгебрі S'+ розв'язок задачі Коші

де Г - гама-функція Бйлера, має вигляд

.

Тут , [s] - ціла частина числа s.

Нехай А = - В - генератор деякої Co -півгрупи в банаховому просторі U. Застосовуючи до функцій із S'+ узагальнене функціональне числення, можна записати нову задачу Коші:

де и(-В; s) - оператор, визначений на D+(A). Розв'язок останньої задачі позначаємо наступним чином

u(-B;s) = Bs, s0.

Тоді, в банаховому просторі U. на [ 0, +) розв'язок задачі Коші

,

для довільного v D+(A) має вигляд

y = Bsv, s0

і його можна використовувати при кожному фіксованому числу s 0 для визначення степені оператора В. Зауважимо, що на D+(A) має місце півгрупове співвідношення: