У нас: 141825 рефератів
Щойно додані Реферати
Тор 100
|
|
функції fS'+ знайдеться послідовність ^узагальнених функцій така, що в слабкій топології простору S'+ і в U, Отже, оператор f(A) на D+(A) для кожної f S'+ визначається співвідношенням (2) і відобра-ження (3) неперервне для кожного х U. Теорема доведена. * Відображення
фа : S'+ f називається узагальненим функціональним численням. Встановимо його основні властивості. Теорема 3. Відображення ФA володіє наступними властивостями: а) похідна -функції від генератора С0-півгрупи діє як відповідна сте-пінь А, а саме б) оператор ( А) можна розширити до одиничного оператора прос-* тору U. : ; в) справедлива формула композиції: . Доведення. а) Розпишемо згортки -функції і її похідних з основною функцією ^ Використовуючи щойно знайдені співвідношення отримуємо наступне Застосуємо п раз формулу інтегрування по частинах і скористаємося фінітністю функції : що і треба було довести. Для доведення в) розпишемо кожну частину подвійної рівності у фор-мулі композиції: Справедливі наступні рівності: Справді, існування згорток доведено, наприклад, у книзі [5]. Доведемо першу рівність: . Для доведення другої рівності достатньо скористатися комутативністю згортки двох узагальнених функцій [1]. Теорема доведена. * 5. ПРИКЛАД СТЕПЕНЕВОЇ ПІВГРУПИ Відомо [б], що в згортковій алгебрі S'+ розв'язок задачі Коші де Г - гама-функція Бйлера, має вигляд . Тут , [s] - ціла частина числа s. Нехай А = - В - генератор деякої Co -півгрупи в банаховому просторі U. Застосовуючи до функцій із S'+ узагальнене функціональне числення, можна записати нову задачу Коші: де и(-В; s) - оператор, визначений на D+(A). Розв'язок останньої задачі позначаємо наступним чином u(-B;s) = Bs, s0. Тоді, в банаховому просторі U. на [ 0, +) розв'язок задачі Коші , для довільного v D+(A) має вигляд y = Bsv, s0 і його можна використовувати при кожному фіксованому числу s 0 для визначення степені оператора В. Зауважимо, що на D+(A) має місце півгрупове співвідношення: Сторінки: 1 2
|