функції fS'+ знайдеться послідовність ^узагальнених функцій така, що в слабкій топології простору S'+ і в U, Отже, оператор f(A) на D+(A) для кожної f S'+ визначається співвідношенням (2) і відобра-ження (3) неперервне для кожного х U. Теорема доведена. * Відображення
фа : S'+ f
називається узагальненим функціональним численням. Встановимо його основні властивості.
Теорема 3. Відображення ФA володіє наступними властивостями:
а) похідна -функції від генератора С0-півгрупи діє як відповідна сте-пінь А, а саме
б) оператор ( А) можна розширити до одиничного оператора прос-* тору U. :
;
в) справедлива формула композиції:
.
Доведення.
а) Розпишемо згортки -функції і її похідних з основною функцією ^
Використовуючи щойно знайдені співвідношення отримуємо наступне
Застосуємо п раз формулу інтегрування по частинах і скористаємося фінітністю функції :
що і треба було довести.
Для доведення в) розпишемо кожну частину подвійної рівності у фор-мулі композиції:
Справедливі наступні рівності:
Справді, існування згорток доведено, наприклад, у книзі [5]. Доведемо першу рівність:
.
Для доведення другої рівності достатньо скористатися комутативністю згортки двох узагальнених функцій [1]. Теорема доведена. *
5. ПРИКЛАД СТЕПЕНЕВОЇ ПІВГРУПИ
Відомо [б], що в згортковій алгебрі S'+ розв'язок задачі Коші
де Г - гама-функція Бйлера, має вигляд
.
Тут , [s] - ціла частина числа s.
Нехай А = - В - генератор деякої Co -півгрупи в банаховому просторі U. Застосовуючи до функцій із S'+ узагальнене функціональне числення, можна записати нову задачу Коші:
де и(-В; s) - оператор, визначений на D+(A). Розв'язок останньої задачі позначаємо наступним чином
u(-B;s) = Bs, s0.
Тоді, в банаховому просторі U. на [ 0, +) розв'язок задачі Коші
,
для довільного v D+(A) має вигляд
y = Bsv, s0
і його можна використовувати при кожному фіксованому числу s 0 для визначення степені оператора В. Зауважимо, що на D+(A) має місце півгрупове співвідношення: