1.Системи лінійних рівнянь. Сумісність, визначеність. Критерій сумісності. Системи лінійних однорідних рівнянь. Фундаментальна система розв’язків. Методи Гаусса і Крамера розв’язування системи лінійних рівнянь.

Розглянемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь

(1) відносно n невідомих .

Розв'язком системи (1) називається впорядкований набір чисел , підстановка яких замість невідомих перетворює всі рівняння системи на арифметичні тотожності. Система рівнянь називається сумісною, якщо вона має хоч би один розв'язок. Якщо не має жодного розв'язку, то вона називається несумісною.

Матриця називається основною матрицею системи (1). Числа називаються вільними членами рівнянь. Матриця

називається розширеною матрицею системи (1).

ТЕОРЕМА1.(Кронекера-Капеллі).Для того щоб система(1)була сумісною, необхідно і достатньо,щоб ранг її розширеної матриці дорівнював рангу основної матриці,тобто .

В окремому випадку, коли число рівнянь дорівнює числу невідомих і матриця невироджена, тобто , система мaє єдиний розв’язок, який можна знайти за формулами Крамера:

де

Під елементарними перетвореннями системи лінійних рівнянь розуміють такі операції:

Дві сумісні системи лінійних рівнянь називаються рівносильними, якщо всі розв'язки першої системи є також розв'язками другої і, навпаки, всі розв'язки другої системи є розв'язками першої. Якщо обидві системи не сумісні, вони також називаються рівносильними.

ТЕОРЕМА 2. Внаслідок елементарних перетворень система рівнянь переходить у рівносильну систему рівнянь (з урахуванням зміни нумерації невідомих).

1.Системи лінійних рівнянь

Нехай дано систему лінійних рівнянь (1). Метод Гаусса полягає в послідовному виключенні невідомих за допомогою елементарних перетворень системи.

Розглянемо перше рівняння системи. Якщо в ньому всі коефіцієнти при невідомих і вільний член дорівнюють нулю, то ми переставляємо це рівняння на останнє місце. Якщо усі коефіцієнти при невідомих дорівнюють нулю, а вільний член не дорівнює нулю, то система розв'язків немає. Тому розглянемо випадок, коли в першому рівнянні хоч би один із коефіцієнтів при невідомих не дорівнює нулю. Нехай ним буде коефіціент при (цього завжди можна досягнути, змінюючи нумерацію невідомих).

Перепишемо тепер початкову систему в такому вигляді: перше рівняння залишимо без зміни, а наступні рівняння дістанемо додаванням до них першого рівняння, помноженого на відповідний коефіцієнт так, щоб після додавання рівняння не містили . Отже, нова система рівносильна початковій, містить невідоме тільки в першому рівнянні, з решти рівнянь невідоме виключене.

Розглянемо тепер друге рівняння нової системи. Якщо в ньому усі коефіцієнти при невідомих і вільний член дорівнюють нулю, то переставляємо це рівняння на останнє місце. Якщо усі коефіцієнти при невідомих дорівнюють нулю, а вільний член не дорівнює нулю, то система розв'язків немає. Тому розглянемо випадок, коли в другому рівнянні нової системи є хоч би один коефіцієнт при невідомих, відмінний від нуля. Можемо вважати, що це коефіцієнт при . Перепишемо тепер нову систему в такому вигляді: перші два рівняння залишимо попередніми, в інших рівняннях виключимо , додаючи до них друге рівняння, помножене на відповідний коефіцієнт.

Продовжуючи аналогічні дії у випадку, коли система сумісна, здобудемо систему, в якій матриця коефіцієнтів при невідомих буде трапецієподібною, тобто система матиме вигляд

. Тоді, якщо , то . Підставивши в передостаннє рівняння системи, знайдемо . Потім аналогічно знайдемо невідомі . У цьому випадку система має єдиний розв'язок.

Якщо , то з останнього рівняння виражаємо через невідомі . Підставляючи цей вираз в передостан-нє рівняння, виражаємо через невідомі. Потім аналогічно виражаємо невідомі . У цьому випадку система має безліч розв'язків, причому базисними невідомими є невідомі , вільними — невідомі

Якщо після деякого елементарного перетворення розширеної матриці в ній з'явиться рядок, що складається з нулів, за винятком останнього елемента, то система рівнянь несумісна.

Система рівнянь (1), в якій, називається однорідною,позначимо її (2). Нехай матриця , складена з коефіцієнтів системи (2), має ранг . Ранг матриці у випадку однорідної системи наз-ся рангом системи. Однорідна система завжди сумісна, оскільки набір чисел є її розв'язком. Розв'язок називається нульовим. Якщо , то нульовий розв'язок буде єдиним розв'язком системи (2); при система має розв'язки, відмінні від нульового. Нехай . Тоді будь-яка сукупність з лінійно незалежних розв'язків однорідної системи (2) називається фундаментальною системою розв'язків однорідної системи.

1.Системи лінійних рівнянь

ТЕОРЕМА 3. Загальний розв'язок однорідної системи рангу з невідомими має вигляд

, де — деякі довільні сталі, a фундаментальна система розв'язків однорідної системи (2).

ТЕОРЕМА 4. Множина розв'язків лінійної однорідної системи рангу утворює в просторі підпростір розмірності , в якому фундаментальна система розв'язків утворює базис. Фундаментальну систему розв'язків можна знайти так. Нехай – базисні, а – вільні невідомі. Виразимо базисні через вільні і запишемо систему (2) у вигляді

або . Тоді , де

. При цьому запису загального розв’язку числа грають роль довільних сталих, а вектори утворюють фундаментальну систему ров’язків однорідної системи (2).

2.Матриці і дії над ними. Обернена матриця. Матричний метод розв’язування систем лінійних рівнянь.

Матрицею називається прямокутна таблиця чисел

(1) (або , або , або ), що містить m рядків та n стовпців. Якщо m = n, то матриця називається квадратною, а число m=n, – її порядком. У загальному випадку матриця називається прямокутною ( розмірів ). Числа –елементи матриці, де i означає номер рядка, а j – номер стовпця.

Матриця, що складається з одного стовпця , називається матрицею-стовпцем, а з одного рядка – матрицею-рядком.

Для квадратної матриці вводяться поняття головної та побічної діагоналей. Головною називається діагональ, яку утворюють елементи , побічною – діагональ, яку утворюють елементи .

Квадратна матриця, всі елементи