Рівність матриць. Дві матриці називаються рівними, якщо вони мають однакові розміри і всі їхні відповідні елементи збігаються.

Додавання матриць. Сумою двох матриць і , однакових розмірів , називається матриця тих самих розмірів, елементи якої дорівнюють сумам відповідних елементів матриць і , тобто .

Операція знаходження суми матриць називається операцією додавання матриць.

Властивості операції додавання матриць:

1. (комутативна властивість). 2. (асоціативна властивість).

Множення матриці на число. Добутком матриці розмірів на число

називається матриця тих самих розмірів, елементи якої здобуваються із відповідних елементів матриці множенням на число , тобто .

Операція знаходження добутку матриці на число називається операцією множення матриці на число. Властивості множення матриці на число:

(дистрибутивна властивість числового множника відносно суми матриць).

(дистрибутивна властивість матричного множника відносно суми).

(асоціативна властивість).

Різниця двох матриць однакових розмірів визначається рівністю

Множення матриць. Добуткомматриці розмірів і матриці розмірів називається матриця розмірів , елемент якої дорівнює сумі добутків відповідних елементів і-го рядка матриці та елементів j-го стовпця матриці , тобто

.

2.Матриці і дії над ними

Операція знаходження добутку матриць і називається операцією множення матриць і .

Властивості операції множення матриць:

(асоціативна властивість).

(дистрибутивна властивість першого множника).

(дистрибутивна властивість другого множника).

Якщо , то матриці називаються комутативними.

Транспонування. Нехай дана матриця (1). Матриця , здобута із заміною рядків на стовпці зі збереженням порядку їх слідування, називається транспонованою матрицею до . Операція заміни матриці на називається транспонуванням матриці . Властивості транспонування матриці:

Якщо квадратна матриця збігається зі своєю транспонованою матрицею , то така матриця називається симетричною. Якщо квадратна матриця відрізняється знаком від своєї транспонованої матриці , тобто, то така матриця називається кососиметричною.

Цілим додатним степенем квадратної матриці є добуток матриць, рівних .

Нехай — квадратна матриця n-го порядку.

Квадратна матриця С порядку n називається оберненою до матриці , AC=CA=E, де E— одинична матриця n-го порядку.

Матриця, обернена до матриці , позначається через , де – алгебраїчне доповнення елемента матриці .

Квадратна матриця порядку n називається особливою, якщо її детермінант дорівнює нулю. Якщо, то називається неособливою.

ТЕОРЕМА 1.1. Особливі матриці обернених матриць не мають. Кожна неособлива матриця має єдину обернену матрицю.

Матричний метод. Розглянемо систему n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими:

. Якщо , , , то в матричній формі система має вигляд . Якщо , то розв’язок системи має вигляд .

5. Многочлен від багатьох змінних.Симетричні многочлени. Результант. Дискримінант.

Многочленом від багатьох змінних над деяким полем (чи цілісним кільцем ) називається сума скінченої кількості членів із коефіцієнтами поля (кільця ). Вважаємо, що многочлени не містить подібних членів і жоден з його коефіцієнтів не дорівнює нулю. Два многочлени від змінних називаються рівними, якщо рівними є їх коефіцієнти при однакових членах. Степенем по відношенню до змінної називається найвищий показник з яким входить до членів многочлена. Степенем многоч називається сума показників.Степенем многоч називається найбільший із степенів многоч. Якщо всі члени многоч. від змінних мають однаковий степінь , то многоч. називають однорідним многоч. степеня .

Многоч. із називається симетричним многоч. відносно невідомих , якщо він не змінюється при довільних перестановках змінних.

; ; …. , елементарні симетричні многочлени.

Властивості симетричних многоч.

Сума, різниця, добуток симетричних многоч. над полем є симетричний многоч. над полем .

Якщо симетричний многоч. містить деякий член, то він містить і член утворений із даного довільною перестановкою показників .

Доведення випливає із означення симетричних многоч. і того, що перестановка показників рівносильна перестановці змінних.

Наслідок: Якщо вищий член симетричного многоч., то .

Вищий член довільного симетричного многоч. можна подати як вищий член добутку елементарних симет. многоч. Якщо вищий член многоч. , то він співпадає із вищим членом наступного многочлена.

Доведення: Оскільки вищий член добутку симетр. многоч. дорівнює добутку вищих членів кожного співмножника, то знайдемо вищі члени співмножників і їх добуток.

.

Вищий член: . Кінець доведення.

Спадна послідовність ненульових симетр. многоч. є скінченною.

Результант. Поняття результанта многоч. можна застосувати для знаходження спільних коренів декількох многоч. від змінних. Нехай дано таке розширення поля в якому має всі свої корені , а многоч. , має всі свої корені .

Елемент поля називається результантом многочленів .

Теорема: володіють спільними коренями в полі тоді і тільки тоді, коли їх результант дорівнює нулю. Довед. випливає із безпосередньої підстановки рівних коренів.Вираз(що вище записаний) для результанта містить усі корені обох многочленів, тому є не практичний. Запишемо ще один вираз для результанта, який містить тільки коефіцієнти даних многочленів:

5. Многочлен від багатьох змінних.Симетричні многочлени. Результант. Дискримінант.

Це форма Сильвестра.

Дискримінант. Розглянемо при яких умовах многоч. го степеня з кільця має кратні корені. Нехай має всі свої корені .Серед цих коренів рівні будуть тоді і тільки тоді, коли дорівнює нулю добуток або .Цей вираз називають дискримінантом многочлена .Обчислюють дискримінант за зручнішою формулою, через .

6. Многочлени над числовими полями. Основна теорема теорії многочленів.

Розміщення дійсних коренів многочлена.

Розглянемо многочлени

Теорема(основна теорема теорії многочленів)

Кожен многочлен, степінь якого більший за одиницю є звідним у полі комплексних чисел.

Доведення: нехай . Одна із теорем твердить, що існує хоча б один комплексний корінь такого многочлена. Позначимо його . Тоді . ,теж є многочленом з комплексними коефіцієнтами, як частка двох многоч. з комплексними коефіцієнтами. має степінь; -степінь одиниця; -. Отже – звідний.