якої, за винятком елементів головної діагоналі, дорівнюють нулю, називається діагональною.Діагональна матриця, у якої всі елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, називається одиничною і позначається буквою . Матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю, називається нульовою і позначається буквою .
Рівність матриць. Дві матриці називаються рівними, якщо вони мають однакові розміри і всі їхні відповідні елементи збігаються.
Додавання матриць. Сумою двох матриць і , однакових розмірів , називається матриця тих самих розмірів, елементи якої дорівнюють сумам відповідних елементів матриць і , тобто .
Операція знаходження суми матриць називається операцією додавання матриць.
Властивості операції додавання матриць:
1. (комутативна властивість). 2. (асоціативна властивість).
Множення матриці на число. Добутком матриці розмірів на число
називається матриця тих самих розмірів, елементи якої здобуваються із відповідних елементів матриці множенням на число , тобто .
Операція знаходження добутку матриці на число називається операцією множення матриці на число. Властивості множення матриці на число:
(дистрибутивна властивість числового множника відносно суми матриць).
(дистрибутивна властивість матричного множника відносно суми).
(асоціативна властивість).
Різниця двох матриць однакових розмірів визначається рівністю
Множення матриць. Добуткомматриці розмірів і матриці розмірів називається матриця розмірів , елемент якої дорівнює сумі добутків відповідних елементів і-го рядка матриці та елементів j-го стовпця матриці , тобто
.
2.Матриці і дії над ними
Операція знаходження добутку матриць і називається операцією множення матриць і .
Властивості операції множення матриць:
(асоціативна властивість).
(дистрибутивна властивість першого множника).
(дистрибутивна властивість другого множника).
Якщо , то матриці називаються комутативними.
Транспонування. Нехай дана матриця (1). Матриця , здобута із заміною рядків на стовпці зі збереженням порядку їх слідування, називається транспонованою матрицею до . Операція заміни матриці на називається транспонуванням матриці . Властивості транспонування матриці:
Якщо квадратна матриця збігається зі своєю транспонованою матрицею , то така матриця називається симетричною. Якщо квадратна матриця відрізняється знаком від своєї транспонованої матриці , тобто, то така матриця називається кососиметричною.
Цілим додатним степенем квадратної матриці є добуток матриць, рівних .
Нехай — квадратна матриця n-го порядку.
Квадратна матриця С порядку n називається оберненою до матриці , AC=CA=E, де E— одинична матриця n-го порядку.
Матриця, обернена до матриці , позначається через , де – алгебраїчне доповнення елемента матриці .
Квадратна матриця порядку n називається особливою, якщо її детермінант дорівнює нулю. Якщо, то називається неособливою.
ТЕОРЕМА 1.1. Особливі матриці обернених матриць не мають. Кожна неособлива матриця має єдину обернену матрицю.
Матричний метод. Розглянемо систему n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими:
. Якщо , , , то в матричній формі система має вигляд . Якщо , то розв’язок системи має вигляд .
5. Многочлен від багатьох змінних.Симетричні многочлени. Результант. Дискримінант.
Многочленом від багатьох змінних над деяким полем (чи цілісним кільцем ) називається сума скінченої кількості членів із коефіцієнтами поля (кільця ). Вважаємо, що многочлени не містить подібних членів і жоден з його коефіцієнтів не дорівнює нулю. Два многочлени від змінних називаються рівними, якщо рівними є їх коефіцієнти при однакових членах. Степенем по відношенню до змінної називається найвищий показник з яким входить до членів многочлена. Степенем многоч називається сума показників.Степенем многоч називається найбільший із степенів многоч. Якщо всі члени многоч. від змінних мають однаковий степінь , то многоч. називають однорідним многоч. степеня .
Многоч. із називається симетричним многоч. відносно невідомих , якщо він не змінюється при довільних перестановках змінних.
; ; …. , елементарні симетричні многочлени.
Властивості симетричних многоч.
Сума, різниця, добуток симетричних многоч. над полем є симетричний многоч. над полем .
Якщо симетричний многоч. містить деякий член, то він містить і член утворений із даного довільною перестановкою показників .
Доведення випливає із означення симетричних многоч. і того, що перестановка показників рівносильна перестановці змінних.
Наслідок: Якщо вищий член симетричного многоч., то .
Вищий член довільного симетричного многоч. можна подати як вищий член добутку елементарних симет. многоч. Якщо вищий член многоч. , то він співпадає із вищим членом наступного многочлена.
Доведення: Оскільки вищий член добутку симетр. многоч. дорівнює добутку вищих членів кожного співмножника, то знайдемо вищі члени співмножників і їх добуток.
.
Вищий член: . Кінець доведення.
Спадна послідовність ненульових симетр. многоч. є скінченною.
Результант. Поняття результанта многоч. можна застосувати для знаходження спільних коренів декількох многоч. від змінних. Нехай дано таке розширення поля в якому має всі свої корені , а многоч. , має всі свої корені .
Елемент поля називається результантом многочленів .
Теорема: володіють спільними коренями в полі тоді і тільки тоді, коли їх результант дорівнює нулю. Довед. випливає із безпосередньої підстановки рівних коренів.Вираз(що вище записаний) для результанта містить усі корені обох многочленів, тому є не практичний. Запишемо ще один вираз для результанта, який містить тільки коефіцієнти даних многочленів:
5. Многочлен від багатьох змінних.Симетричні многочлени. Результант. Дискримінант.
Це форма Сильвестра.
Дискримінант. Розглянемо при яких умовах многоч. го степеня з кільця має кратні корені. Нехай має всі свої корені .Серед цих коренів рівні будуть тоді і тільки тоді, коли дорівнює нулю добуток або .Цей вираз називають дискримінантом многочлена .Обчислюють дискримінант за зручнішою формулою, через .
6. Многочлени над числовими полями. Основна теорема теорії многочленів.
Розміщення дійсних коренів многочлена.
Розглянемо многочлени
Теорема(основна теорема теорії многочленів)
Кожен многочлен, степінь якого більший за одиницю є звідним у полі комплексних чисел.
Доведення: нехай . Одна із теорем твердить, що існує хоча б один комплексний корінь такого многочлена. Позначимо його . Тоді . ,теж є многочленом з комплексними коефіцієнтами, як частка двох многоч. з комплексними коефіцієнтами. має степінь; -степінь одиниця; -. Отже – звідний.
