Наслідки: 1 Многоч. незвідний у полі комп. чисел тоді і тільки тоді, коли його степінь дорівнює одиниці. 2 Кожний многоч. го степеня над полем комплекс. чисел розкл. на лінійні множники. 3 Многоч. го степеня має у полі компл. чисел точно коренів.

Розміщення дійсних коренів многочлена.

Усі корені многоч. знаходяться в середині круга із центром в поч. координат і радіусом , де .Всі дійсні корені многоч. знаходяться в інтервалі.

Теорема(спосіб Ньютона)

Число М є верхньою межею додатних коренів многочлена ,якщо при многоч. приймає додатні значення, а всі його похідні мають невід’ємні значення.

Доведення: Розкладемо в ряд Тейлора за степенями .

=, де степінь

,

. Отже є дійсною межею дійсних коренів многоч. Теорему доведено.

Для того , щоб звузити межі між якими знаходяться дійсні корені многочлена, потрібно окремо знайти нижні та верхні межі додатніх і від’ємних коренів. Потрібно знайти 4 числа . Всі додатні корені лежать в інтервалі, а всі від’ємні - .

Виявляється, що досить вміти знаходити тільки одне із записаних 4-ох чисел. Наприклад, всі інші межі можна знайти як верхні межі додатних коренів інших допоміжних рівнянь. Наприклад, в рівнянні заміною отримаємо рівняння .Якщо верхня межа додатних коренів рівняння , то

, ,

Використаємо наступну заміну , отримаємо нове рівняння корені якого зв’язані з коренями початкового рівняння формулою .Якщо всі додатні корені ,то будуть всіма від’ємними коренями .

, , .

9.Евклідів простір. Нерівність Коші-Буняковського.

Лінійний простір називається евклідовим простором, якщо виконуються наступні умови:

Будь-яким двом елементам даного простору і ставиться у відповідність дійсне число, яке називається скалярним добутком цих елементів і позначають символом .

Для скалярного добутку справедливі такі аксіоми:

2.1 - аксіома симетрії

2.2 - аксіома роз подільності

2.3 , для будь-якого дійсного числа

2.4 при , при .

Теорема1:Для будь-яких двох елементів і довільного евклідового простору справедлива нерівність , яка називається нерівністю Коші-Буняковського.

Доведення: для будь-якого дійсного числа , в силу аксіоми 2.4 скалярного добутку, справедлива рівність . В силу аксіом 2.1-2.3, останню рівність можна записати в вигляді . Для того щоб виконувалась дана рівність необхідно і достатньо щоб дискримінант даного тричлена був недодатнім, тобто щоб виконувалась рівність , звідки випливає потрібна рівність. Теорема доведена.

Теорема2: Для будь-яких двох елементів і довільного комплексного евклідового простору справедлива нерівністю Коші-Буняковського

Доведення: для будь-якого комплексного числа , в силу аксіоми 2.4 скалярного добутку, справедлива рівність . В силу аксіом 2.1-2.3, останню рівність можна записати в вигляді . Позначимо через аргумент комплексного числа і представимо в вигляді . Тоді , де -будь-яке дійсне число. , . Отримаємо наступну рівність . Яка справедлива для будь-якого дійсного . Для того щоб виконувалась дана рівність необхідно і достатньо щоб дискримінант даного тричлена був недодатнім, тобто щоб виконувалась рівність , звідки випливає потрібна рівність. Теорема доведена.

10. Квадратична форма. Додатньо і від’ємно визначені квадратичні форми. Закон інерції квадратичних форм. Критерій Сильвестра.

Квадратичною формою називається числова функція одного векторного аргумента , яка випливає із білінійної форми , при .

Симетрична білінійна форма називається полярною до квадратичної форми.

Полярна білінійна форма і квадратична форма зв’язані наступним співвідношенням: , яке випливає з наступного співвідношення: і властивостей симетрії форми .

Нехай форма в базисі визначається матрицею . =, де - координати вектора в базисі . Припустимо, що дана форма може бути приведена до канонічного вигляду , причому шукаються за формулами: і занумеровані так, що перші є додатними, а решту - від’ємними: ,,…,,,…,.

Нехай , ,…,, ,…, , ,…,. В результаті отримаємо, (*) , що наз. нормальним видом квадратичної форми. Отже, з допомогою деякого невиродженого перетворення координат вектора в базисі , (**) , , , квадратична форма приведена до нормального вигляду.

Теорема1(закон інерції квадратичної форми): Число доданків з додатними (від’ємними) коефіцієнтами в нормальному вигляді квадратичної форми не залежить від способу приведення форми до даного вигляду.Доведення: Нехай форма з допомогою (**) приведена до (*), і з допомогою другого не виродженого перетворення координат прийдемо до нормального вигляду (***) .Для доведення теореми потрібно перевірити рівність .Нехай . Потрібно переконатися, що в даному випадку існує ненульовий вектор , що по відношенням до базисів, в яких форма має вигляд (*) і (***), координати даного вектора рівні нулю: (****). Так як отримані шляхом не виродженого перетворення (**) координат , а координати з допомогою аналогічного не виродженого перетворення тих же координат , то умову (****)можна розглядати як систему лінійних однорідних рівнянь відносно координат шуканого вектора в базисі .Так як , то число однорідних рівнянь (****) менше n, тому система (****) має ненульовий розв’язок відносно . Тому, якщо , то існує ненульовий вектор , для якого виконується рівність (****).В даному випадку отримаємо: .Дана рівність має місце, при і , що суперечить тому, що даний вектор є ненульовим. Аналогічно, при .Отже, .Теорема доведена.

10. Квадратична форма

Квадратична форма називається: додатньо (від’ємно) визначеною, якщо для будь-якого ненульового виконується рівність: ; знакозмінною, якщо існують такі , , що ,.

Індексом інерції квадратичної форми наз. число відмінних від нуля канонічних коефіцієнтів даної форми; додатнім(від’ємним) індексом інерції- число додатних (від’ємних) канонічних коефіцієнтів.

Теорема2: Для того, щоб квадратична форма , задана в мірному лінійному просторі, була знакосталою, необхідно і досить щоб або додатній індекс інерції , або від’ємний індекс інерції були рівні розмірності простору .

Якщо , то форма