Доведення: Доведення проведемо для додатньо визначеної квадратичної форми. Для відємно визначеної квадратичної форми доведення проводиться аналогічно.

Необхідність: Нехай форма додатньо визначена. Тоді . Якщо , то із останнього виразу випливає, що для ненульового вектора з координатами ,,…,,,…,, форма перетвориться в нуль, що суперечить означенню квадратичної форми. Отже, .

Достатність: Нехай . , , причому, якщо , то , тобто є нульовим. Відповідно, є додатньо визначена квадратична форма. Теорема доведена. Теорема3(Критерій Сильвестра): Для того, щоб квадратична форма ,була додатньо визначена необхідно і досить щоб усі кутові мінори були додатними, тобто , ,…,.

Для того, щоб квадратична форма ,була від’ємно визначена необхідно і досить щоб знаки кутових мінорів чергувалися, причому .

Доведення: Необхідність: Докажемо спочатку, що із умови знакозмінності квадратичної форми випливає що ,.Нехай . Розглянемо квадратну однорідну систему лінійних рівнянь: . Так як , то система має ненульовий розв’язок (не всі рівні 0).Помножимо перше з рівнянь на , друге- на ,…, останнє на . В результаті отримаємо рівність , ліва частина якого являє собою значення квадратичної форми. для ненульового вектора х з координатами . Це значення рівне нулю що суперечить знакозмінності форми. Якщо – додотньо визначена форма. То всі канонічні коефіцієнти додатні. З формул для канонічних рівнянь випливає, що , ,…,. Якщо ж відємно визначена форма то всі канонічні коефіцієнти від’ємні. Із означення канон. коеф. випливає, що знаки кутових мінорів чергуються, причому .

Достатність. Нехай викон. умови накладені на кутові норми в формулюванні теор. Так як і=1,2,3, …, п, то форму А можна привести до суми квадратів, причому конон. коеф. шукаються за вказаними вище формулами. Якщо , ,…, то з озн. канон. коеф. випливає що , тобто форма додатньо визначена. Якщо ж знаки чергуються і то форма відємно визначена. Теорема доведена

11. Зведення квадратичних форм до канонічного виду.

Якщо квадратичну форму звести, за допомогою лінійного перетворення, то отримаємо квадратичну форму від нових змінних з іншими коефіцієнтами.

Теорема. Будь-яку квадратичну форму за допомогою невиродженого лінійного перетворення змінних можна звести до канонічного вигляду.

Звести квадратичну форму до канонічного виду можна методом Лагранжа. Ідея цього методу полягає в послідовному виділенні повних квадратів по кожній змінній в квадратичній формі. Для виділення повного квадрату по змінній необхідно, щоб в квадратичній формі був присутній вираз з квадратом цієї змінної. Якщо в квадратичній формі нема членів з квадратами змінних, то застосовують спеціальне невироджене перетворення змінних так, щоб в квадратичній формі утворилися члени з квадратами змінних. Так, якщо всі , але для деяких номерів і , то застосувавши невироджене лінійне перетворення змінних при , отримаємо, що член квадратичної форми набуде вигляду , це означає, що в квадратичній формі отримаємо члени з квадратами по змінній і . Ці члени, не можуть з іншими членами форми скоротитися, так як кожний інший її член міститься в при . Таким чином, в квадратичній форма є члени із змінними в квадраті. Нехай в квадратичній формі є член з квадратом змінної , тобто . Згрупуємо в всі члени, які містять , і доповнимо їх суму до повного квадрату. Тоді отримаємо, що

де – квадратична форма від змінних .

Введемо нові змінні , ,…, . Для нових змінних квадратична форма набуде вигляд . З квадратичною формою можна поступити аналогічно. Через крок ми прийдемо до канонічної форми . Нехай –матриця послідовно виконаних відображень змінних; –матриця квадратичної форми, –діагональна матриця отриманого канонічного вигляду. Тоді формула набуває вигляд .

Нехай квадратична форма зведена до канонічного вигляду

Виконаємо додаткові лінійні перетворення змінних . В результаті квадратична форма набуде вигляду . Такий вигляд квадратичної форми називають нормальним виглядом.

12. Поняття групи, підгрупи. Циклічні групи. Фактор-група.

Поняття групи, підгрупи.

Групоїд — це множина з однією визначеної в ній бінарною операцією.Множина із заданою в ній бінарною асоціативною операцією н6азивається півгрупою.Півгрупа з одиничним елементом називається моноїдом. Моноїд, в якому введена операція множення, називається мультиплікативним; моноїд, в якому введена операція додавання,— адитивним. Моноїд, всі елементи якого оборотні, називається групою.

Групою називається непорожня множина , в якій виконуються такі аксіоми:

в множині задана бінарна операція:

введена операція є асоціативною:

множина володіє єдиним одиничним елементом:

для кожного елемента множини в цій же множині існує до нього обернений : .

Якщо задана в групі операція є комутативною, то група називається комутативною ( абелевою ). За аналогією до моноїда, група за множенням називається мультиплікативною.

Підгрупою групи називається підмножина цієї групи, яка сама утворює групу по відношенню до тієї ж операції, яка задана в групі.

Перевірка того, чи задана підмножина групи утворює її підгрупу включає:

чи міститься в результат бінарної операції елементів із ;

чи містить обернені до будь-яких своїх елементів.

Циклічні групи.

Важливим прикладом підгрупи є циклічні підгрупи.

Нехай –деяка група, –один з її елементів. Позначимо символом підмножину групи , яка складається з усіх степенів елемента . Підмножина утворює підгрупу групи , оскільки:

множення не виводить за межі елементів виду : ;

існує нейтральний елемент ;

для всіх елементів .

Підгрупа , яка складається із всіх степенів елемента групи , називається циклічною підгрупою групи , породженою елементом .

Можливі два випадки:1) усі степені елемента є різними елементами групи . При цьому елемент називається елементом нескінченного порядку;2) серед степенів елемента є рівні між собою, тобто при . Як правило, цей випадок має місце у