Мінімальний додатній показник елемента , при якому , називається порядком елемента , а сам елемент –елементом -го порядку.

Якщо є елементом -го порядку, то породжена ним циклічна підгрупа складається з елементів.

Озн. Група називається циклічною, якщо вона складається з степенів одного із своїх елементів (тобто, якщо вона співпадає з будь-якою своєю підгрупою ). Елемент називається твірним елементом циклічної групи =.

Кожна циклічна група є комутативною, оскільки .

Теорема 1. Кожна нескінченна циклічна група ізоморфна адитивній групі цілих чисел.

Доведення. Нехай –циклічна група, породжена елементом . Доведемо, що . Поставимо у відповідність елементу групи ціле число :. Тоді із того, що , випливає, що . Отже, –гомоморфізм. Аналогічно доводиться і навпаки. Отже, –ізоморфізм.

12. Поняття групи, підгрупи. Циклічні групи. Фактор-група.

Теорема 2. Кожна скінченна циклічна група порядку ізоморфна мультиплікативній групі коренів -го степеня з одиниці.

Доведення. Нехай – скінченна циклічна група порядку . Поставимо у відповідність кожному елементу цієї групи елемент : , де – перший з коренів із одиниці. Тоді із того, що , , випливає , . Звідки випливає, що –гомоморфізм. Аналогічно доводиться і навпаки. Отже, –ізоморфізм.

Теореми 1,2 показують, що всі циклічні групи по суті вичерпуються адитивною групою цілих чисел і мультиплікативною групою коренів -го степеня з одиниці.

Теорема 3. Кожна підгрупа циклічної групи сама циклічна.

Доведення. Нехай –довільна циклічна група з твірним елементом , –деяка її підгрупа (не одинична, бо одинична підгрупа завжди циклічна). Виберемо в підгрупі найменший із додатніх степенів елемента . Нехай ним буде –мінімальне. Покажемо, що він є твірним елементом підгрупи , яка буде циклічною. Нехай довільний елемент . Тоді , де . В цьому випадку в підгрупі буде міститися елемент , який менший за , що неможливо, крім . Таким чином, . Отже, довільний елемент підгрупи є степенем . Це означає, що підгрупа циклічна з твірним елементом .

Фактор-група.

Нехай – довільна нормальна підгрупа групи . Оскільки кожний лівий суміжний клас групи за нормальною підгрупою збігається з правим суміжним класом , то говоритимемо тільки про суміжні класи групи за нормальною підгрупою .

Суміжний клас , породжений елементом із , позначаємо . Введемо в множині суміжних класів операцію множення (як множення деяких підмножин групи ). Нехай , .

Розглянемо добуток

.

Таким чином, добуток двох суміжних класів групи за нормальною підгрупою є суміжним класом за . Для знаходження добутку двох класів за треба в кожному із цих класів вибрати по одному представнику і взятий той суміжний клас, до якого належить добуток вибраних представників.

Теорема. Множина суміжних класів групи за нормальною підгрупою утворює мультиплікативну групу, яку називають фактор-групою групи за нормальною підгрупою і позначають .

Доведення:

а) асоціативність множення суміжних класів випливає із асоціативності множення підмножин групи;

б) суміжний клас відіграє роль одиничного суміжного класу. Дійсно, для будь-якого :

1);

2)

в) для кожного суміжного класу існує обернений суміжний клас . Дійсно,

;

.

Отже, .Теорему доведено.

12. Поняття групи, підгрупи. Циклічні групи. Фактор-група.

Властивості фактор-групи.

Кожна фактор-група комутативної групи є комутативною.

Доведення. . Розглянемо фактор-групу , елементами якої будуть . .

Кожна фактор-група циклічної групи теж циклічна.

Доведення. Нехай –циклічна група, породжена елементом , тобто . Розглянемо фактор-групу :. Оскільки циклічна, то . Звідси . Отже, –циклічна фактор-група, породжена елементом або .

Порядок будь-якої фактор-групи скінченої групи є дільником порядку цієї групи.

Кількість суміжних класів, які утворюються при розбитті групи за підгрупою , називається індексом підгрупи в групі . Іншими словами, індекс підгрупи в групі є порядком фактор-групи .

15. Поле. Характеристика поля. Поле раціональних дробів. Побудова скінчених полів з допомогою фактор-кілець.

Тілом називається кільце, кожен ненульовий елемент якого є оборотним (тобто має до себе обернений). Полем називається комутативне кільце, кожен не нульовий елемент якого є оборотним. Іншими словами поле – це комутативне тіло. Поле позначається . Приклади полів: поле раціональних чисел; поле дійсних чисел; множина теж поле.

Поле , яке містить деяке поле (його називають підполем поля ) називається розширенням поля . Розглянемо означення характеристики поля. Не всі властивості числових полів зберігаються у випадку довільного поля, зокрема, якщо додавати одиницю саму до себе в деякому нескінченному полі декілька разів, то ми ніколи не отримаємо 0 , тобто, всі такі числа кратні одиниці є відмінними одне від одного: , тобто . Якщо ж додавати одиницю саму ж себе в деякому скінченому полі, то серед отриманих чисел кратних одиниці, обов’язково будуть рівні, оскільки скінчене поле володіє лише скінченою кількістю різних елементів. Якщо всі кратні одиниці є різними елементами поля , то для того щоб кратне одиниці дорівнювало 0 , необхідно, щоб . Таке поле називається полем характеристики нуль. Якщо поле містить рівні кратні одиниці, тобто то із , тобто ціле кратне одиниці дорівнює нулю. Найменше натуральне число , із яким одиниця перетворюється в нуль, називається характеристикою даного поля.

Властивості: 1) Якщо поле має характеристику , то число –просте.

Доведення: припустимо від супротивного. Нехай , де .

Дано: , що суперечить умові мінімальності . Отже припущення не вірне, – просте.

2) Якщо характеристика поля дорівнює , то

Доведення:

3) Якщо характеристика поля дорівнює нулю, то із , де .

Доведення:

Лема: Якщо многочлен – незвідний многочлен над полем , то фактор-кільце – многочленів за ідеалом є полем.

Д-ння: Елемент фактор-кільця Цей елемент фактор-кільця за ідеалом відмінний від елемента оскільки, в іншому випадку, одиниця мала б ділитися на ,