Розглянемо розширення поля раціональних чисел приєднання до них деяких ірраціональних чисел. Приєднаємо, наприклад до поля число , додавши його до всіх раціональних чисел і помноживши на будь-яке раціональне число. Отримали числа вигляду Множина чисел такого вигляду утворює поле, яке є розширенням алгебраїчного поля елементом . Позначимо його – алгебраїчне над полем , оскільки є коренем рівняння з раціональними коефіцієнтами.

4. Многочлени, їх звідність. Ділення многочленів. Корені многочленів

. Теорема Вієта.

Многочленом п-го степеня від невідомого х називається вираз вигляду: Число п називається степенем многочленна. Два многочлени є рівними, якщо рівними є їх коефіцієнти при однакових степенях змінної. Число 0 теж є многочленом, степінь якого не визначений. Роль 1 при діленні многочленів відіграє число 1 як многочлен нульового степеня. Многочлен f(x) тоді і тільки тоді має обернений, якщо він є многочленом нульового степеня. Звідси випливає, що оберненої операції до множення многочленів – ділення- не існує. Для многочленів існує алгоритм ділення з остачею, який грунтується на тому, що для будь-яких двох многочленів f(x), g(x) можна знайти такі многочлени q(x), r(x) що f(x)=g(x)q(x)+r(x), при чому степінь r(x) менше степеня g(x) або r(x)=0. Многочлени g(x), r(x)визначаються однозначно. Властивості ділення многочленів:

1.Якщо f(x) ділиться на g(x), а g(x)ділиться на h(x), то f(x) ділиться на h(x).

2.Якщо f(x) i g(x) діляться на h(x), то їх сума і різниця теж ділиться на h(x).

3.Якщо f(x) ділиться на g(x), то добуток f(x) на інший многочлен теж ділиться на g(x).

4.Якщо кожен з многочленів ділиться на g(x), то на g(x) буде ділитися многочлен .

5,Всякий многочлен ділиться на будь-який многочлен нульового степеня.

6,Якщо f(x) ділиться на g(x), то він ділиться і на сg(x).

7.Многочлени cf(x) і тільки вони будуть дільниками f(x) , які мають такий же степінь, що й f(x).

8.Многочлени f(x) i g(x) тоді і тільки тоді діляться один на другий, коли f(x)=cg(x)

Якщо f(c)=0, то с називається коренем многочленна f(x)

8.Лінійні оператори. Характеристичне рівняння, спектр, слід, мінімальний многочлен, власні значення і власні вектори лінійного оператора.

Оператор, який діє з в називається лінійним, якщо для будь-яких векторів , , виконується :

1. (+)=+

2. () =

Дії над лін. операторами:

Нехай і 2 лінійні оператори , що діють з в .Сума лінійних операторів і назив. Оператор+, який визначається рівністю(+)= +y.Добутком лін. оператора на число назив. оператор , який діє за законом () =(). Нульовим лін. оператором назив. оператор 0 , який переводить всі елементи простору в нульовий елемент простору ()[0]=0. Тотожним або одиничним оператором назив. лін.операторE, який діє за правиломДобутком операторів , назив. оператор , який діє за правиломНульовий і тотожний оператори є лінійними.

Вектор , який задовольняє співвідношення =назив. власним вектором оператора , а число власним значенням опер. , який відповідає даному власному вектору .Вектор назив. власним , якщо оператором він перетворюється в колінеарний йому вектор.

Теорема: Власні вектори , яким відповідають попарно різні власні значення утворюють лінійно незалежну систему.

Доведення : 1) Нехай - деяка система власних векторів , яким відповідають попарно різні власні значення.2)Нехай k=1за означенням 0 і система {} лінійно незалежна. 3) припустимо, що дов. система з (k-1)- власного вектора є лін.незалежна.4) доведемо, що лін. незалежною буде і система з k-власних векторів . Припустимо супротивне , тобто,що система власних векторів , яким відповідають попарно різні є лін. залежною , тобто,що оператор ( ….) = , Віднімемо від останньої рівності (1)-ку помножену на

Оскільки вектори системи утворюють лін. незалежну систему, то всі коефіцієнти останньої лін. комбінації =0 Розглянемо зокрема перший з них , Отримана суперечність і доводить теорему.Із теореми випливає , що якщо всі власні значення лін. оператора є попарно різними , то система відповідних цим значенням власних векторів утворюють базу простору цю базу назив. власною базою лін.оператора

( -E)=

Визначник матриці -E є многочленом n-го степеня від цей многочлен назив. характеристичним многочленом матриці ( оператора ) і позначають

Теорема: Характеристичний многочлен матриці не залежить від вибору бази.

Слід матриці це сума її діагональних елементів =. Сума власних значень лінійного оператора = сліду матриці цього оператора. Множина всіх власних значень лін. оператора (характеристичних коренів ) назив. спектром оператора. Спектр назив. простим, якщо всі власні значення різні.

13. Морфізми груп. Теорема про гомоморфізм груп. Ізоморфізм груп. Теорема Келі.

Означення. Ізоморфізмом групи на групу наз. взаємнооднозначне відображ. на , яке не порушує операції . Тобто, якщо з того, що довільним елементам відповідають відповідно елем. , то результатові операції між в групі відповідатиме результат між групи . І навпаки.

Означення. Гомоморфним відображенням групи в групу наз. таке відображ., яке зберігає операцію.

Означення. Гомоморфізм групи на свою фактор-групу наз. природнім(канонічним).

Означення. Сукупність К всіх елементів групи , які при гомоморфізмі відображ. в нейтральний елем. групи , наз. ядром гомоморфізму і позначається .

Теорема(про гомоморфізм груп). Нехай є гомоморфізмом групи на групу і – ядро цього гомоморфізму.