1.Множина дійсних чисел.Упорядкованість та щільність множин.
Означення.Для двох дійсних чисел можна сказати. Які б не були два дійсних числа породжені перерізами , то вони перебувають в одному із трьох співвідношень: , , . Дійсно, якщо нижній клас містить в собі нижній клас і співпадає з ним, тоді . Якщо нижній клас містить в собі нижній клас і не співпадає з ним, то . Якщо повністю міститься в і не співпадає з , то . Аналогічно можна дати означення менше.
Якщо -дійсне число, більше від , а , породжене перерізом , породжене , породжене , то .
Дійсно з того що , то повністю містить у собі не співпадаючи. , то містить у собі не співпадаючи. Звідси маємо, що містить у собі не співпадаючи, тобто .
Лема 1. Якщо і - два дійсних числа і , то знайдеться ріціональне число , що (1).
Між двома дійсними числами можна вставити безліч раціональних чисел.
Доведення. породжується , породжується , , то повністю містить в собі і не співпадає з ним (), тобто існує , яке належить і не належить і , -пограничне число рівність, якщо . Нема рівності, якщо . В нижньому класі немає найбільшого, тому тут можна знайти число , і посилити нерівність . Лему доведено.
Лема 2. Нехай і , , такі, що , можна знайти і , що , , , то .
Доведення. Доведення від супротивного. Нехай . Одне з цих чисел більше іншого. Припустимо . За першою лемою між і можна вставити два числа і , , , тоді маємо .. Якщо в якості ми візьмемо , то -це суперечить тому що . Ми прийшли до суперечності. Тому .
2. Теорема Дедекінда про повноту множини дійсних чисел.
Теорема Дедекінда. Для всякого перерізу і в множині дійсних чисел існує межове (граничне) число що породжує цей переріз і якщо належить нижньому класі то в ньому воно найбільше, якщо належить верхньому класу то воно в ньому найменше.
Доведення. З нижнього класу виберемо всі раціональні числа. Вони утворять множину. У верхньому класі виберемо всі раціональні числа. Вони утворять множину . Множини і відповідно утворюють верхній і нижній класи перерізу в . А переріз у - дійсне число.
. Покажемо що , якщо належить , то воно найбільше, а якщо -то воно найменше (межове число у є межовим у ).
. Припустимо, що воно не найбільше. Тому існує
, яке належить
і
. Знайшлося
. За лемою між двома числами існує раціональне число
,
. Куди належить
?
, бо всі менші пограничного числа , бо в раціональні числа із , а . То . Раціональне число не попало ні в один клас. Тому ми маємо суперечність наше припущення не вірне. - найбільше число в .
Нехай
Покажемо, що воно найменше. Методом від супротивного. Нехай
- не найменше число, то знайдеться
із
, що
. За лемою 1 існує раціональне число
,
. Але
і
. Воно не належить
, бо менше пограничного, бо
бо не належить
, бо більше від
. Ми прийшли до суперечності
не належить ні одному класу. Це не буде переріз. Тому
- найбільше.
в
і в
є найменше
в
є найбільше. З розбиття ці числа повинні бути різні за побудовою. Тому
. Між ними існує безліч раціональних чисел, які не попали ні в один клас. Тому таких перерізів немає. Теорема доведена.
Ми показали, що всякий переріз в породжується тим самим числом, що й відповідний переріз йому в і це число, якщо воно належить нижньому класу, то воно найбільше, якщо верхньому –то найменше. Множина – суцільна, немає прогалин, дірок.
3. Грані, точні грані множини. Теорема про існування точних граней.
Властивості точних граней.
Означення верхньої межі множини: Якщо дійсне число таке, що для будь-якогослідує , то говорять, що число є верхньою межею множини . Якщо є одна верхня грань, то ми можемо знайти їх безліч. Найменша серед всіх верхніх граней множини називається точною верхньою гранню і позначається .
Означення нижньої межі множини: Якщо дійсне число таке, що для будь-якого слідує , то – нижня грань множини . Якщо є одна нижня грань, то ми можемо знайти їх безліч. Найбільша серед всіх нижніх граней множини називається точною нижньою гранню і позначається .
Теорема про існування точних граней: 1) Якщо множина обмежена зверху, то вона має точну верхню грань.
2) Якщо множина обмежена знизу, то вона має точну нижню грань.
Доведення 1):Розглянемо обмежену зверху множину , це означає, що знайдеться число , що для всіх . Треба довести що існує . I) В множині є найбільше число , то для всіх , , тому – верхня грань і найменша серед верхніх граней, має супремум. .
II) немає найбільшого числа, тому множину розіб’ємо на два класи: в віднесемо всі верхні грані множини , саму множину і решту чисел віднесемо в клас . Видно, що таке розбиття є переріз в . За теоремою Дедекінда цей переріз породжується деяким межовим числом . Але в немає найбільшого, бо в не було найбільшого, тому . За теоремою Дедекінда воно найменше., разом з тим воно є верхньою гранню, то
Доведення 2): Розглянемо множину обмежену знизу. Це означає, що знайдеться число , що для всіх . Треба довести, що існує . I) В множині є найменше число ,