Скористайтеся пошуком, наприклад Реферат        Грубий пошук Точний пошук
Вхід в абонемент





1.Множина дійсних чисел.Упорядкованість та щільність множин.

Означення.Для двох дійсних чисел можна сказати. Які б не були два дійсних числа породжені перерізами , то вони перебувають в одному із трьох співвідношень: , , . Дійсно, якщо нижній клас містить в собі нижній клас і співпадає з ним, тоді . Якщо нижній клас містить в собі нижній клас і не співпадає з ним, то . Якщо повністю міститься в і не співпадає з , то . Аналогічно можна дати означення менше.

Якщо -дійсне число, більше від , а , породжене перерізом , породжене , породжене , то .

Дійсно з того що , то повністю містить у собі не співпадаючи. , то містить у собі не співпадаючи. Звідси маємо, що містить у собі не співпадаючи, тобто .

Лема 1. Якщо і - два дійсних числа і , то знайдеться ріціональне число , що (1).

Між двома дійсними числами можна вставити безліч раціональних чисел.

Доведення. породжується , породжується , , то повністю містить в собі і не співпадає з ним (), тобто існує , яке належить і не належить і , -пограничне число рівність, якщо . Нема рівності, якщо . В нижньому класі немає найбільшого, тому тут можна знайти число , і посилити нерівність . Лему доведено.

Лема 2. Нехай і , , такі, що , можна знайти і , що , , , то .

Доведення. Доведення від супротивного. Нехай . Одне з цих чисел більше іншого. Припустимо . За першою лемою між і можна вставити два числа і , , , тоді маємо .. Якщо в якості ми візьмемо , то -це суперечить тому що . Ми прийшли до суперечності. Тому .

2. Теорема Дедекінда про повноту множини дійсних чисел.

Теорема Дедекінда. Для всякого перерізу і в множині дійсних чисел існує межове (граничне) число що породжує цей переріз і якщо належить нижньому класі то в ньому воно найбільше, якщо належить верхньому класу то воно в ньому найменше.

Доведення. З нижнього класу виберемо всі раціональні числа. Вони утворять множину. У верхньому класі виберемо всі раціональні числа. Вони утворять множину . Множини і відповідно утворюють верхній і нижній класи перерізу в . А переріз у - дійсне число.

. Покажемо що , якщо належить , то воно найбільше, а якщо -то воно найменше (межове число у є межовим у ).

  1. . Припустимо, що воно не найбільше. Тому існує
  2. , яке належить
  3. і
  4. . Знайшлося
  5. . За лемою між двома числами існує раціональне число
  6. ,
  7. . Куди належить
  8. ?

, бо всі менші пограничного числа , бо в раціональні числа із , а . То . Раціональне число не попало ні в один клас. Тому ми маємо суперечність наше припущення не вірне. - найбільше число в .

  1. Нехай
  2. Покажемо, що воно найменше. Методом від супротивного. Нехай
  3. - не найменше число, то знайдеться
  4. із
  5. , що
  6. . За лемою 1 існує раціональне число
  7. ,
  8. . Але
  9. і
  10. . Воно не належить
  11. , бо менше пограничного, бо
  12. бо не належить
  13. , бо більше від
  14. . Ми прийшли до суперечності
  15. не належить ні одному класу. Це не буде переріз. Тому
  16. - найбільше.
  17. в
  18. і в
  19. є найменше
  20. в
  21. є найбільше. З розбиття ці числа повинні бути різні за побудовою. Тому
  22. . Між ними існує безліч раціональних чисел, які не попали ні в один клас. Тому таких перерізів немає. Теорема доведена.

Ми показали, що всякий переріз в породжується тим самим числом, що й відповідний переріз йому в і це число, якщо воно належить нижньому класу, то воно найбільше, якщо верхньому –то найменше. Множина – суцільна, немає прогалин, дірок.

3. Грані, точні грані множини. Теорема про існування точних граней.

Властивості точних граней.

Означення верхньої межі множини: Якщо дійсне число таке, що для будь-якогослідує , то говорять, що число є верхньою межею множини . Якщо є одна верхня грань, то ми можемо знайти їх безліч. Найменша серед всіх верхніх граней множини називається точною верхньою гранню і позначається .

Означення нижньої межі множини: Якщо дійсне число таке, що для будь-якого слідує , то – нижня грань множини . Якщо є одна нижня грань, то ми можемо знайти їх безліч. Найбільша серед всіх нижніх граней множини називається точною нижньою гранню і позначається .

Теорема про існування точних граней: 1) Якщо множина обмежена зверху, то вона має точну верхню грань.

2) Якщо множина обмежена знизу, то вона має точну нижню грань.

Доведення 1):Розглянемо обмежену зверху множину , це означає, що знайдеться число , що для всіх . Треба довести що існує . I) В множині є найбільше число , то для всіх , , тому – верхня грань і найменша серед верхніх граней, має супремум. .

II) немає найбільшого числа, тому множину розіб’ємо на два класи: в віднесемо всі верхні грані множини , саму множину і решту чисел віднесемо в клас . Видно, що таке розбиття є переріз в . За теоремою Дедекінда цей переріз породжується деяким межовим числом . Але в немає найбільшого, бо в не було найбільшого, тому . За теоремою Дедекінда воно найменше., разом з тим воно є верхньою гранню, то

Доведення 2): Розглянемо множину обмежену знизу. Це означає, що знайдеться число , що для всіх . Треба довести, що існує . I) В множині є найменше число ,


Сторінки: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19