II) У множині немає найменшого числа. Зробимо переріз в множині . До класу віднесемо всі нижні грані. До класу віднесемо множину і решту чисел. За теоремою Дедекінда існує межове число , яке породжує переріз . не попало в , бо в нема найменшого. Тоді – нижньому класу і там воно найбільше, а нижній клас складається з нижніх граней. Тому серед нижніх граней воно є найбільшим. Тому . Теорема доведена.

Властивості точних граней. 1) Нехай множина має – точну верхню грань. , то

1)

2) Яке б ми не взяли число , то ,

2) Нехай множина має – точну нижню грань. , то

1)

2) Якщо , то , .

Множина, яка обмежена знизу і з верху називається обмеженою. Є множини не обмежені не зверху ні знизу – . Може бути множина обмежена знизу, але не обмежена зверху:. Бувають множини необмежені знизу, але обмежені зверху:.

4. Відповідність, відображення, функція. Способи задання. Види функцій.

Нехай X і Y - числові множини XR, YR. Означення1. Якщо числу xX за деяким правилом ставиться у відповідність єдине yY, то говорять, що на множині X задана функція, відображення, оператор, відповідність. Це правило позначаємо через f (f:X>Y, XY). Множину X, для якої має зміст правило, називаємо областю визначення f. Позначаємо D(f)=X. Сукупність {y¦xX, f(x)=y}, називаємо областю значень f. Позначаємо R(f). Озн.2. Нехай f1:X1>Y1 і f2:X2>Y2 , говорять, що f1=f2, якщо: 1) X1=X2 області визначення їх співпадають; 2) xX1 , f1(x)=f2(x). y=f(x) називають образом x, а x для y=f(x) називають прообразом. Озн3. Якщо f:X>Y і R(f)=Y, то говорять, що f відображає X на Y і таке відображення називається сур’єкцією.Озн 4. Якщо x1X і x2X, x1?x2, то маємо, що f(x1)?f(x2), то таку функцію називають ін’єкцією або взаємно однозначне відображення X в Y.Озн 5. Якщо f:X>Y є 1) сур’єкцією і однозначно 2) ін’єкцією то таке відображення називається взаємно однозначним X на Y або бієкцією.Озн 6. Якщо f:X>Y і f - бієкція, то для yY xX таке, що f(x)=y і цю множину Y називають областю визначення оберненої функції, а цю відповідність Y>X, f(x)=y, називають оберненою функцією і позначають f-1(y)=x.Озн 7. Якщо f:X>Y, а g:Y>Z, а h:X>Y так, що, то h називають складною функцією від x або суперпозицією f і g. Іноді кажуть композиція функцій f і g і позначають h=gf=g(f(x)).Озн 8. Якщо кожному x ставиться у відповідність не одне значення y, а більше то теж маємо функцію, але вона називається багатозначною.

Найважливіші способи задання функцій–це задання таблицею, формулою, графіком, і словесно.

При табличному заданні функції просто виписується ряд значень незалежної змінної і відповідних їм значень функції. Основний спосіб задання функцій – задання формулою (аналітичне задання). Графіком функції називається геометричне місце точок, абсциси яких є значеннями незалежної змінної, а ординати – відповідними значеннями функції.

Функції поділяються на: 1. Явні і неявні функції:Функція y аргументу x називається явною, якщо її задання полягає в тому, що прямо вказується аналітичний відносно x вираз, якому дорівнює функція y. Неявною функцією y аргументу x називаємо функцію, яка визначається рівнянням, що зв’язує x і y, і не розв’язаним відносно y.

2. Алгебраїчні і трансцендентні:

Функція значення якої можна дістати, виконуючи над незалежною змінною скінченнечне число алгебраїчних дій, називається явною алгебраїчною. Функція називається раціональною, якщо її значення можна дістати, виконуючи над незалежною змінною конечне число додавань, віднімань, множень і ділень. Алгебраїчна функція, яка не є раціональною, називається ірраціональною.. Раціональна функція називається цілою, якщо для її визначення не застосовується ділення на вирази, що містять незалежну змінну. Цілі раціональні функції називають многочленами або поліномами (при цьому одночлен розглядається як окремий випадок многочлена).. Раціональна функція називається дробово-раціональною, якщо вона подається дробом, у якого чисельник і знаменник многочлени.. Функція. яка не є алгебраїчною, називається трансцендентною.

3. Однозначні і многозначні: Озн. Функція називається однозначною, якщо кожному розглядуваному значенню незалежної змінної відповідає одне певне значення функції. В противному випадку функція називається многозначною.

Ф-я обмежена, якщо . Обмежена зверху і знизу, якщо Ф-я f(x) назив. монотонно зрост.(спадною), якщо Якщо f(-x)=f(x) – парна, f(-x)=-f(x) – не парна. Ф-я y=f(x), х є Х назив. періодичною на множині з періодом l (l-періодичною), якщо .Якщо l є періодом, то і ± nl є періодом, n є N.

5. Поняття елементарної функції. Класифікація елементарних функцій.

Озн. Елементарною ф-цією назив. ф-ція, яку можна задати одним аналітичним виразом, складеним з елементарних ф-цій і сталих за допомогою скінченного числа арифметичних операцій (додавання, віднімання і ділення) і скінченного числа операцій взяття ф-ції від ф-ції.

Класифікація елементарних функцій:

Цілі раціональні функції:

Функція представляється , многочлен n-го степеня з дійсними коефіцієнтами;

Дробово-раціональні функції: Відношення двох таких многочленів

, , .

Ці два класи функцій об’єднані в один клас раціональних функцій.

3.Ірраціональні функції. Це функції, в яких, крім вказаних вище дій, використовується

операція добування кореня.

Раціональні та ірраціональні функції входять до більш загального класу алгебраїчних функцій. Всі інші елементарні функції називаються трансцендентними:.

Основні елементарні функції:

1.Степенева функція: , де n – дійсне число:

(б=n – натуральний показник)

: Область визначення D(f)=R; Область значення E(f)=[0;+).

: Область визначення D(f)=R; Область значення E(f)=R.

(б=n – цілий від’ємний показник)

: Область визначення D(f)=(-?;0)U(0;+)=R\{0}; Область значення E(f)=(0;+)

: Область визначення D(f)=(-?;0)U(0;+)=R\{0};D(f)=(-?;0)U(0;+)=R\{0}.

2. Показникова функція: , де a –