то ряд збігається, коли невласний інтеграл

збігається, і розбігається, коли цей інтеграл розбігається.

Довед. Розгл.. криволінійну трапецію, обмежену лінією , з основою від до , – довільне ціле додатне число(мал. 1)

Площа її вимірюється інтегралом

Позначимо цілі точки основи: . Цим точкам відповідають дві східчасті фігури (мал. 1):одна з них має площу, що дорівнює , а друга – площу, яка дорівнює . Площа першої фігури менша за площу даної криволінійної трапеції, площа другої – більша за неї, тобто маємо

Звідси дістаємо дві нерівності:

(*)

(**)

1) Нехай існує; тоді , і з нерівності (*) при всякому знаходимо:

Таким чином, як зростаюча і обмежена ф–я має границю і, отже, ряд збіг.

2) Нехай не існує; тоді при , і на основі нерівності (**) робимо висновок, що також необмежено зростає, тобто ряд розбігається.

31. Абсолютно і умовно збіжні ряди. Властивості.

Нехай дано ряд (1) (2)

Озн. Якщо разом з рядом (1) збігається ряд складений з абсолютних величин членів даного ряду, то ряд (1) наз. абсолютно збіжним; якщо ряд (1) збігається , а ряд складений з абсолютних величин розбігається, то ряд (1) наз. не абсолютно(умовно) збіжним.

Теорема Коші(про абсолютну збіжність): Якщо збігається ряд (2), то збігається (1).

Доведення: Перевіримо для ряду (1) виконання критерію збіжності Больцана-Коші, тобто: що виконується рівність .

Оскільки (2)- збіжний, то для нього виконується критерій Больцана-Коші, тобто :що виконується рівність .

,отже, . Теорема доведена.

На абсолютну збіжність ряди перевіряють так:

1.Якщо , при , то ряди (1) і (2) – розбіжні.

2. Якщо , при , то виконується тільки необхідна умова. Складаємо ряд (2)- це додатній ряд і до нього можна застосувати ознаки порівняння:- ознака Коші; - ознака Даламбера; - ознака Раабе;

Можна використовувати теорему Больцана-Коші. Але якщо ми показали, що ряд (2) розбіжний, то треба досліджувати за критерієм Больцана-Коші через залишок, або через означення збіжності ряду.Над збіжними рядами можна виконувати такі операції, як додавання, віднімання, множення на число, множення двох рядів:

1.якщо ряд збігається абсолютно, то ряд, який складений з тих самих елементів, але в іншому порядку, також збігається абсолютно до того самого числа.

2. якщо ряд (1) абсолютно збіжний і - деяке число, то ряд також збіжний.

3.якщо ряди (1) , (3) абсолютно збіжні, то ряд також абсолютно збіжний.

4.якщо (1) і (3) абсолютно збіжні, то ряд, отриманий з всеможливих добутків членів даних рядів також збігається абсолютно, причому якщо сума даного ряду рівна , а суми рядів (1) і (3) відповідно і, то .

Доведення: із всеможливих добутків складаємо суму (*) . Покажемо, що дана сума абсолютно збіжна. , , скінченні величини. Розглянемо частинні суми ряду, складеного з абс. величин членів ряду.

31. Абсолютно і умовно збіжні ряди. Властивості

(*).= Оскільки обмежені в сукупності, то даний ряд збігається абсолютно. Покажемо, що . Складемо таблицю:

Запишемо ряд по таблиці наступним чином і отримаємо: . , , . , , .Звідки отримаємо потрібну рівність.

5. для абсолютно збіжних рядів має місце переставний, груповий і розподільний закони.

Для умовно збіжних рядів переставний закон не має місця.

Нехай - додатні члени ряду (1), а - від’ємні члени ряду (1).

Лема: Якщо ряд (1) збігається умовно , то ряди (3) , (4) розбіжні.

Доведення: Нехай ряд (1) збігається, тобто , і збігається один з рядів (3) або (4), наприклад ряд (3). Тоді , .

Якщо (4) збігається, то ; , ; , ; , Нехай - частинна сума ряду (2). , тобто частинна сума ряду (2) обмежена, що означає, що ряд (2) збігається. Отже, ряд (1) збігається абсолютно. Отримали суперечність.

Якщо (4) не збігається, тобто . Тоді (4) не перетворюється в скінчену суму , причому при , . При розгляді рівності отримаємо протиріччя.

Отже, ні один з рядів (3), (4) не збігаються, а отже дані два ряди є розбіжні. Лема доведена.

Для умовно збіжних рядів справедлива теорема Рімана.

Теорема(ознака Рімана): Якщо ряд (1) збігається умовно, то яке б не була число , члени даного ряду можна переставити так, що сума отриманого ряду буде рівна .

Для дослідження умовно збіжних рядів на збіжність використовують ознаку Абеля і Діріхле.

Нерівність Абеля: Якщо , , і , , то .

Ознака Діріхле: Якщо ряд такий, що послідовність монотонно спадна і збігається до нуля, а послідовність частинних сум ряду обмежена, тоді ряд збігається.

32. Функціональні ряди і послідовності. Рівномірна збіжність. Критерій рівномірної збіжності. Ознака Вейєрштрасса, Абеля, Діріхле.

Розглянемо послідовність функцій , –фіксуємо. При фіксованому ми маємо числову послідовність. . Нехай . Беремо інше фіксуємо, , і знов маємо числову послідовність . Нехай . Якщо для –фіксоване,, , то ми бачимо, що на визначена функція і цю функцію називають граничною функцією послідовності .

Озн.функціонального ряду і його суми. Нехай ми маємо (1), . (2),.(3). Нехай ряд (3) збіжний, і суму цього ряду позначимо , . Для фіксованих точок, де ряд (3) збіжний визначимо суму в кожній точці. Сукупність утворює область збіжності і є областю визначення його суми . Позначимо , , ..., – це -ні частинні суми функціонального ряду. Очевидно, що якщо –загальний член ряду (1). Необхідна умова збіжності (1): при кожному фіксованому з області збіжності. –залишок. Необхідна і достатня умова збіжності в кожній точці: .

Озн. рівномірної збіжності функціонального ряду.,