Арифметичні операції , які повторно застосовують до незалежних змінних , приводять до цілих многочленів таких виглядів:

і - це ціла раціональна і дробова раціональна функції.

Нехай точка - точка скупчення множини . Тоді із завжди можна виділити таку послідовність (1): , яка відрізняється від , яка б збігалася до .

Нехай в даній множині визначена функція . Тоді функція має своєю границею число при прямуванні змінних до , якщо яку б не виділити із послідовність (1) точок, відмінних від і збіжних до , числова послідовність , яка складається із відповідних значень функції, завжди збігається до . Позначають так: .

Сформулюємо дане означення “на мові ”: кажуть, що функція має своєю границею число , якщо для будь-якого числа існує таке число , що якщо , то .

36. Функція багатьох змінних. Границя, неперервність. Повторні і подвійні границі

Говорять, що функція неперервна в точці , якщо має місце рівність в протилежному випадку функція має розрив в точці . Сформулюємо дане означення “ на мові ”: говорять, що функція неперервна в точці . Якщо для будь-якого існує таке , що якщо , то .

Розглядаючи різниці як прирости незалежних змінних, а різницю - як приріст функції, можна сказати, що функція неперервна , якщо нескінченно малим приростам незалежних змінних відповідає нескінченно малий приріст функції.

Обмежимося випадком функції двох змінних . Припустимо, що область така, що може приймати будь-яке значення з деякої множини для якої служить точкою скупчення, але їй не належить і аналогічно для . Таку множину можна позначити як.

Якщо при будь-якому фіксованому для функції існує границя при , то границя буде залежати від фіксованого : . Тоді . Дана границя наз. повторною. Її ще так можна записати: .

Теорема. Якщо: 1. Існує подвійна границя ;

2. При будь-якому існує границя по : ; то існує повторна границя , яка дорівнює подвійній границі.

Доведення: Доведемо дану теорему для випадку скінченних і . Згідно означення границі функції “на мові ” , при заданому знайдеться таке , що (2), якщо і . Зафіксуємо так, щоб виконувалася нерівність і перейдемо в (2) до границі при . Так як при цьому , то отримаємо: . Звідси .Доведено.

Якщо для будь-якого існує границя по : , то випливає із уже доведеного, що якщо і поміняти місцями, то існує також і інша повторна границя , яка дорівнює числу :. В такому випадку, обидві повторні границі рівні.

37 Частинні похідні. Похідна за напрямом. Градієнт. Рівність змішаних

частинних похідних.

Нехай маємо ф-ю . Надамо приріст так, щоб точка належала R. Розглянемо різницю . Ця різниця називається частинним приростом ф-ї по першій координаті. (1)=. Розглянемо . Шукаємо границю . Якщо така границя і вона скінченна, то її називають частинною похідною по 1-й координаті в т. . . По аналогії можна отримати будь-яку частинну похідну по будь-якій змінній. . Нехай ми маємо ф-ю . В деякій т. ця ф-я має частинні похідні 1-го порядку. (2). Нехай (2) в точці . Тоді її можна розглядати як ф-ю т. М. Наприклад, маємо пох. по 1-му аргументу в кожній точці . Виникає питання чи . Якщо то її називають частинною похідню 2-го порядку від ф-ї по змінній і позначають . Якщо 2-гу частинну похідну по розглядати як ф-ю в кожній точці і від неї пох. в кожній точці, то її називають третьою частинною похідною . Виникає питання чи похідна по . Якщо вона , то: змішана похідна 2-го порядку по та . =. . Виникає питання чи всі ці змішані похідні рівні. Виявляється, що змішані пох. одного і того самого порядку не завжди рівні

Достатні умови рівності змішаних частинних похідних: якщо змішані похідні по х і по у неперервні, то вони співпадають.

ТЕОРЕМА: (про рівність змішаних частинних пох.): Якщо ф-я має частинні похідні по х і по у, і змішані пох. по х і по у, і ф-я неперервні в , а змішані пох. по х і по у неперервні в т. , то в т. ці похідні співпадають: .

Д-ня: Розгл. ф-ю , де деякі числа не рівні нулю. Розглянемо ф-ю . . Можна цю ф-ю розглядати як ф-ю від у: .

37 Частинні похідні. Похідна за напрямом. Градієнт. Рівність змішаних

частинних похідних.

Тоді . Застосуємо теорему Лагранжа : . Тепер ф-ю можна записати: . Тепер навпаки: . Перейдемо до границь при . В силу неперервності вийде: щ. т. д. ця теорема переноситься на випадок змінних і змішаних похідних вищих порядків.

Похідна за напрямом

Нехай маємо деякий заданий напрям і ф-я швидкість зміни ф-ї.

Означення: похідною від ф-ї f(M) в т. M0 за напрямом l називають границю , де - норма (довжина вектору). Така границя позначається Ця функція характеризує «швидкість зміни» вказаної функції в точці M0 за напрямком l.

Запишемо р-ння