Нас цікавить, коли максимальна, за яким напрямом швидкість ф-ї найбільша.

Означення: Вектор називається градієнтом величини f та його позначають g=gradf. З формули похідної по напрямку випливає, що градієнт є вектор якій за численним значенням та за напрямком характеризує найбільшу швидкість зміни величини f..

. Маємо

.

38. Диференційовність ф-ції багатьох змінних. Достатні умови

диференційовності.

Розглянемо -повний приріст, якщо розглядати приріст по одній змінній - частинні прирости. Для функції однієї змінної маємо (1)

(2)

Якщо виконується (1), то ми говоримо, що функція диференційовна в точці . Покажемо аналогічну рівність для функції багатьох змінних.

Означення диференційовності в точці для функції багатьох змінних. Говорять, що функція диференційовна в точці , якщо повний приріст функції в точці дорівнює (3), де , коли всі не залежно одне від другого.

Для функції однієї змінної щоб була формула (1), (2) необхідно і досить щоб існувала скінченна похідна в точці , тому функцію яка має в точці полхідну називається дмференційовною. Але для функції двох змінних (3) не виконується, якщо існують скінченні частинні похідні, тобто функція не є диференційовною в точці .

Розглянемо Розглянемо повний приріст функції в . Знайдемо похідну по в точці

,, , ,

Ми маємо, що , коли

Переконаємося, що

Візьмемо

Отже з існування похідних не випливає (3) є достатні умови диференційовності.

Теорема. Якщо визначена в і в точці та деякому околі точки , що міститься в , , що має частинні похідні по всіх змінних і ці похідні неперервні в точці , то функція диференційовна в і її повний приріст в , де як тільки не залежним одним від другого.

38. Диференційовність ф-ції багатьох змінних. Достатні умови диференційовності

Доведення. Знайдемо повний приріст функції в точці . Додамо і віднімемо такі значення функції, щоб мати часткові прирости, по одній змінній

Кожен раз розглядаємо приріст, як приріст функції однієї змінної. До кожного приросту застосуємо теорему Лагранжа про скінченні прирости . Це можна зробити, якщо вибрати настільки малими, щоб вони попали в той окіл точки , про який йде мова в теоремі. Будемо мати:

(4)

. За теоремою Лагранжа.

Використаємо те, що похідні неперервні в . Неперервність означає: (5)

Використаємо властивості границь (6)

якщо

Підставимо (6) у (4)

.

(3) доведено.

Зауваження 1.Для компактності запису (3) запишемо ці нескінченно малі через відстань

де якщо

Отже (3) має вигляд: , то .

Зауваження 2. Означення диференційовності можна давати в такому вигляді: називається диференційовною в , якщо, сталі, такі що (3’), де як тільки . З доведеної теореми вмдно, що .

41. Степеневі ряди в комплексній площині. Теорема Коші-Адамара.

Степеневий ряд (1)де - фіксовані комплексні числа, а – комплексна змінна, яка є простим прикладом функціонального ряду, тобто, ряді, члени якого – деякі функції від . Такий ряд, збіжний при одних значеннях і розбіжний при інших. Відповідь на питаннях при яких значення це відбувається дає теорема Коші-Адамара.

Теорема Коші-Адамара: Якщо , то при ряд (1) абсолютно збіжний по всій площині, при він збігається тільки в точці і розбіжний при , при ряд (1) абсолютно збігається в крузі і є розбіжний за його межами (при ).

Доведення: Зауважимо, що ряд (1) завжди збігається в точці , так як при всі члени ряду, починаючи з другого, перетворюються в нуль. Дослідимо ряд (1) при на абсолютну збіжність з допомогою ознаки Коші. Для цього розглянемо ряд: (2). Можуть появитися наступні випадки:

а) . Тоді за ознакою Коші звідси випливає збіжність ряду (2) в усіх точках площини, тобто абсолютна збіжність ряду (2) для всіх .

б) Нехай . При всіх тоді маємо: тобто загальний член ряду (2) (за ознакою Коші) не збігається до нуля. Отже, не збігається до нуля і загальний член ряду (1), звідки випливає, що він розбіжний при всіх .

в) Нехай тепер, . Для всіх маємо: Якщо , то ряд (2) збігається за ознакою Коші. Звідси випливає абсолютна збіжність ряду (1) в крузі . При маємо: ; за ознакою Коші, загальний член ряду (2) не збігається до нуля. Тому ряд (1) є розбіжним при . Теорема доведена.

Областю збіжності степеневого ряду є круг – круг збіжності – радіуса з центром в точці . Число називається радіусом збіжності.

Зауваження: з курсу мат. аналізу відомо, що степеневий ряд , де і коефіцієнти дійсні, збігається абсолютно в деякому інтервалі, і є розбіжним при . Такий результат ми можемо знову получити як наслідок теореми Коші-Адамара, застосувавши її до ряду Областю збіжності цього ряду є круг з центом в і радіуса ( при ряд збігається в єдиний точці ), який перетинається з дійсною віссю по інтервалі , де збігається абсолютно ряд . Далі, так як ряд є розбіжний при , то і ряд буде розбіжним при

42. Невласні інтеграли 1 і 2 роду. Критерій збіжності. Достатні умови

збіжності.

Критерій Коші збіжності невласного інтегралу першого роду:

, S(A) =

Критерій Коші збіжності невласного інтегралу другого роду:

збіжний

Абсолютна та умовна збіжність невласних інтегралів першого роду

(1)

(2)

Якщо збіжний (1) і збігається(2), то (1) - абсолютно збіжний, а f(x) абсолютно інтегровна.

(1) умовно збіжний (1) або (2).

Теорема: Якщо f(x) абсолютно інтегровна, (обмежена), .

Теорема: (1) абсолютно збіжний (2) збіжний.

,

Абсолютна та умовна збіжність невласних