(3)

(4)

Якщо для збіжного (3) збігається(4), то (3) - абсолютно збіжний, а f(x) абсолютно інтегровна.

(3) умовно збіжний (3) або (4).

Ознаки Абеля та Діріхле для невласних інтегралів першого роду

()

42. Невласні інтеграли 1 і 2 роду. Критерій збіжності. Достатні умови

збіжності.

Ознака Абеля: Якщо (збіжний), або g(x) , то () збіжний.

=,

Ознака Діріхле: Якщо S(A) = , то () збіжний.

< , бо інтеграли обмежені, .

Ознаки Абеля та Діріхле для невласних інтегралів другого роду

, b - особлива ()

Ознака Абеля: Якщо (збіжний), або g(x) на [a,b), то () збіжний хоча б умовно.

Ознака Діріхле: Якщо S() = , g(x) , то () збіжний хоча б умовно.

43. Екстремум функції багатьох змінних. Необхідна умова. Достатні умови екстремуму

функції двох змінних.

Нехай функція визначена в області і внутрішня точка цієї області. Говорять, що функція в точці має максимум (мінімум), якщо її можна описати таким околом щоб для всіх точок цього околу виконувалась нерівність . Якщо цей окіл взяти настільки малим, щоб у кожній точці, крім самої точки виконувалась строга нерівність , то кажуть, що в точці має місце власний максимум(мінімум); в протилежному випадку максимум(мінімум) називається невласним.

Для позначення максимуму і мінімуму використовують загальний термін екстремум.

Припустимо, що дана функція в деякій точці має екстремум. Покажемо, що якщо в цій точці існують скінченні частинні похідні то всі ці частинні похідні дорівнюють нулю, так що перетворення в нуль частинних похідних першого порядку є необхідною умовою існування екстремуму.

Покладемо зберігаючи змінною. Тоді ми отримаємо функцію від даної змінної : Так як ми припустили, що в точці існує екстремум (нехай це буде максимум), то звідси випливає, що в деякому околі точки повинна виконуватись нерівність: так що функція в точці буде мати максимум, а звідси випливає, що Аналогічно показується, що в точці всі інші частинні похідні дорівнюють нулю.

Підозрілими на екстремум є точки, в яких всі частинні похідні першого порядку перетворюються в нуль. Їх координати можна знайти розв’язавши систему рівнянь:. Такі точки називаються стаціонарними.

Як і у випадку однієї змінної, в стаціонарній точці не обов’язково є екстремум. Тому розглянемо умови, достатні для існування екстремуму в стаціонарній точці.

Розглянемо випадок функції двох змінних Припустимо, що ця функція визначена, неперервна і має неперервні частинні похідні першого і другого порядків в околі деякої точки , яка є стаціонарною, тобто задовольняє умови:

Розглянемо різницю Розкладемо її за формулою Тейлора, обмежившись двома членами. Оскільки точка є стаціонарною, то перший член зникає, і ми отримаємо: . Роль відіграють різниці і всі похідні обчислені в деякій точці

43. Екстремум функції багатьох змінних. Необхідна умова. Достатні умови екстремуму

функції двох змінних.

Введемо позначення , , і покладемо , так що всі при Тоді різниця запишеться у вигляді:

Поведінка залежить від знаку виразу . Введемо полярні координати: де . Тоді 1) Нехай . В цьому випадку , і тричлен можна представити у вигляді: Звідси видно, що вираз у квадратних дужках завжди додатній, так що тричлен при всіх значеннях , не перетворюючись в нуль, зберігає знак коефіцієнта . Його абсолютна величина як неперервна на проміжку функція від має найменше значення : . З іншої сторони, якщо розглянути другий тричлен , то враховуючи, що всі при отримаємо: , якщо тільки досить мале. Тоді різниця буде мати той знак, що і . Отже, якщо , то і тобто функція в точці має мінімум.

2) Нехай <0 і нехай . Тоді знову можна скористатись перетворенням При вираз в квадратних дужках буде додатнім, або зведеться до . Навпаки, якщо визначити з умови , то цей вираз зведеться до () і буде від’ємним. При досить малому другий тричлен як при , так і при буде як завгодно малим і знак визначиться знаком першого тричлена. Таким чином, поблизу точки на променях, визначених кутами і , різниця буде мати значення різних знаків. Тому в цій точці екстремуму бути не може. Якщо і тричлен зведеться до , то, користуючись тим, що , можна визначити кут так, що Тоді при і згаданий тричлен буде мати протилежні знаки. Таким чином, поблизу точки на променях, визначених кутами і , різниця буде мати значення різних знаків. Тому в цій точці екстремуму бути не може. Отже, якщо , то в досліджуваній стаціонарній точці функція має екстремум, а саме, власний максимум при <0 і власний мінімум при . Якщо ж <0, то екстремуму немає.У випадку =0 для дослідження потрібно використовувати похідні вищих порядків.

44_1.Диф.рів-ння І порядку. Рівняння .–

загальний вигляд ДР І порядку, де F– неперервна в кожній точці деякої області . Якщо (1) можна розвязати відносно похідної, то , де – визначена та неперервна в обл..

Функція ,визначена на проміжку наз. розвязком р-ння (2), якщо 1. 2. 3..

Функція , яка залежить від змінної х і параметра С наз загальним розвязком р-ння (2), якщо довільний р-зок цього р-ння міститься в загальному, в тому розумінні,що він зображається у вигляді при деякому фіксованому значенні С0 параметра С, включаючи . Розвязок,записаний у вигляді наз загальним інтегралом.

(це ДР, яке явно не містить y). Його загальний розвязок: .

( це ДР, яке явно не містить незалежної змінної).

Отже . Можливі особливі розвязки де

44_3.