Функція f(x,y) називається однорідною виміру m,якщо виконується рівність (1)

Наприклад, – є однорідними вимірів 0 і 3 відповідно.

З (1) випливає (при ), що .

Отже, . (2)

Диференціальне рівняння першого порядку (3) називається однорідним, якщо функції M і N є однорідними одного і того ж виміру m, (m – довільне).

Покажемо, що однорідне рівняння (3) можна записати у вигляді , де - деяка функція виміру 0.

З (3) випливає, що

Однорідне рівняння (3) зводиться до рівняння з відокремлюваними змінними за допомогою заміни (4), де -нова функція.Підст. (4) в (3).

,,

Поділимо на (х=0-?)., –?. , Повертаємось до:

Особливими розв’язками можуть бути розв’язки z=a, де та півосі .Якщо ці розв’язки містяться в загальному, то вони будуть частинними.

Найпростіші диференціальні рівняння, звідні до однорідних

До однорідних рівнянь зводяться рівняння вигляду

(1), де функція f – неперервна; aj, bj, cj R. Розглянемо 3 випадки:

1 випадок. C1=C2=0. Тоді рівняння (1) буде однорідним.

2 випадок. , , заміна (2)–паралельне перенесення осей координат в точку з координатами , і – нові змінні, і – довільні числа.(2) в (1):

. Вибираємо і такими, щобЦя система має єдиний розв’язок, бо 0.Отрим.: – однорідне. Розв’язавши це рівняння , потрібно повернутися до змінних x, y за формулами .

3 випадок.: , , = a1b2 – a2b1 = 0, a1b2 = a2b1 або a1=ka2; b1=kb2(3)

Підставляємо (3) в (1), ,

,отже . Отримуємо рівняння з відокремлюваними змінними. Розв’язавши це рівняння, повертаємося до x, y.

44_4 Рівняння в повних диференціалах. Інтегруючий множник.

Озн. ДР вигляду (1) назив. рі-ням в повних диференціалах якщо існує така неперервно-диференційовна ф-ція , що (2).

Теорема. Нехай ф-ції неперервні в однозв’язній області G, в G. Щоб рі-ня (1) було в ПД н. і д. щоб для всіх точок області G виконув. умова (3).

¦Необхідність.Доведемо,що з (2)(3).Нехай виконується умова (2). З другого боку (4). З (2) і (4) -продиф.обидві ч-ни цих рі-нь поі по відповідно: , . Отже, виконується (3).

Достатність. Доведемо,що з (3)(2).Виконується умова (3). Побудуємо ф-цію для якої справджується рівність (2). Для цього розглянемо ДР розв’язавши його знаходимо , продиф. по: Вик-чи. (3) ,.З . Отримали ф-цію (+С). Отже, (3)(2). ¦

Якщо рі-ня (1) не є в ПД, то можна знайти таку ф-цію , що після множення на неї обох частин рі-ня (1) це рі-ня стане РПД.

Озн. Функція називається інтегрувальним множником ДР (1) якщо рівняння (2) є РПД в деякій області G.

Виведемо формулу для інтегрувального множника рі-ня (1). (2)-РПД

, . Для знаходження ф-ції м отримали ДР з частинними похідними І порядку, розв’язати яке складніше ніж рі-ня (1). Тому розглянемо деякі частинні випадки функції .

Нехай , тоді , - ліва частина рі-ня ф-ція від x права ф-ція від x. , , (с=1);

Нехай , тоді , , , ;

, , .

Якщо м–ін-ий мн-ик (1). особливим р-ом(1) може бути такий, при наближенні.до якого

44_5 Диференціальні рівняння 1 порядку: Лінійні рівняння 1 порядку. Однорідні і

неоднорідні. Рівняння Бернуллі.

Рівняння вигляду , де функції p(x) і q(x) – неперервні наз. лінійним диференціальним рівнянням 1 порядку. Якщо q(x)0 то рівняння наз. лінійним однорідним рівнянням, якщо q(x)0 то (1) наз. лінійним неоднорідним.

3 способи розв’язування лінійних рівнянь: 1) метод Лагранжа:

розв’язуєм рівняння (2), , - розв’язок рівняння (2). Розв’язок у=0 є частинний, бо міститься в (3) при с=0.Розв’язок рівняння (1) шукаєм у вигляді (3) підставивши замість с неперервно – диференційовну функцію с(х). (4), . Підставивши с(х) в (4) одержим загальний розв’язок (1): у=().

2) метод Бернуллі або метод підстановки:

Розв’язок (1) шукається у вигляді y=uv (5), де u і v – довільні неперервно – диференційовні функції. Підставим в (1) , виберем v так, щоб =0, тоді . Нехай с=1, то .

3) метод інтегрувального множника, м. Ейлера:

Домножим рівняння (1) на функцію , = , у=( - загальний розв’язок.

Рівняння Бернуллі – це рівняння вигляду - неперервні функції, x є (a, b), m, m Домножим (6) на функцію (1-m) y, введем заміну z= - лінійне рівняння відносно z. Звідси , у=(. Особливі розв’язки: y=0? 1) випадок: якщо m<0 то у=0 не буде розв’язком (6); 2) вип. m>1 то у=0 можна отримати з загального розв’язку при с=; 3) вип. 0<m<1 то степінь додатній і у=о – особливий розв’язок.

Другий спосіб розв’язання рівняння Бернуллі:

Заміна y=uv,

З першого рівняння шукається функція v і підставляється в друге рівняння, звідки знах. функція u і диференціюється.Зауваження: описані способи застосовуються також для рівняння вигляду .

44_6 Рівняння, не розвязані відносно похідної.

Основні поняття, задача Коші.

(1) , де точка , функція неперервна в

Означення. Функція визначена на відрізку називається розв’язком рівняння (1) якщо :

1)функція диференційована ; 2) точка

3)

Для рівняння (2) — умова Коші. Умова (2) для однозначного визначення Будь-якого розв’язку рівняння (1) не достатньо. Тому потрібно додати ще одну умову (3).

Отже задача Коші має вигляд (1), (2), (3). Будемо говорити, що розв’язок задачі Коші (1)-(3) єдиний, якщо через кожну точку в досить малому її околі проходить стільки інтегральних кривих, скільки напрямків поля визначає рівняння (1) в цій точці.

Теорема. Нехай функція задовольняє такі три умови:

1) вона визначена і наперервно-диференційовна разом з своїми частинними похідними в деякому замкненому околі точки ; 2) 3)

Тоді рівняння (1) має єдиний розв’язок , який визначений і неперервно-диференційовний в деякому околі точки