при a>1: Область визначення D(y)=R; Область значення E(y)=(0;+);

при 0<a<1: Область визначення D(y)=R; Область значення E(y)=(0;+).

3. Логарифмічна функція:, де основа логарифма a-додатне число, відмінне від 1

при a>1: Область визначення D(y)=(0;+); Область значення E(y)=R;

при 0<a<1: Область визначення D(y)=(0;+); Область значення E(y)=R.

4. Тригонометричні функції: , , , а також , , ;

: Область визначення D(sinx)=R; Область значень E(sinx)=[-1;1].

: Область визначення D(cosx)=R; Область значень E(cosx)=[-1;1].

: Область визначення ; Область значень E(tgx)=R.

: Область визначення ; Область значень E(ctgx)=R.

5. Обернені тригонометричні функції: , , , а також , , .

: Область визначення D(arcsinx)=[-1;1]; Область значень E(arcsinx)=[].

: Область визначення D(arccosx)=[-1;1]; Область значень E(arccosx)=[0;р].

: Область визначення D(arctgx)=(-?;?); Область значень E(arctgx)=().

: Область визначення D(arcctgx)=(-?;?); Область значень E(arcctgx)=(0;р).

Існують і неелементарні функції. Це, наприклад, y=sign x.

6. Границя послідовності. Властивості збіжних послідовностей.

Послідовністю називається функція натурального аргумента, тобто коли кожному натуральному числу ставиться у відповідність дійсне число.

Послідовність називається зростаючою (спадною) , коли при збільшенні (зменшенні) члени послідовності зростають (зменшуються), тобто якщо при ( ).

Число називається границею послідовності якшо для довільного існує таке натуральне число , яке залежить від , що для всіх виконується нерівність .

Теорема1. Якщо послідовність має границю, то ця границя єдина.

Доведення.

Припустимо супротивне. Нехай послідовність має дві границі . Виберемо a<b . Візьмемо довільне , таке, щоб . Знайдемо числа і , при яких , а для . Якщо вибрати N більшим з чисел N1 N2 , то і , що неможливо, тому що .

Теорема 2. Якщо послідовність має границю, то вона обмежена.

Доведення.

Нехай . Тоді в будь-який окіл точки потрапляють всі за винятком хіба лише скінченного числа точок. Нехай, починаючи з , всі потрапили до околу . Виберемо з чисел найбільше за модулем М. Тоді для . Виберемо . Тоді для , тобто послідовність -- обмежена.

Теорема 3. Якщо для послідовностей і , що мають скінченні (не обов'язково) границі і , і починаючи з деякого номера для всіх наступних членів виконуються нерівності або , то .

Теорема4. Якщо з трьох послідовностей , , дві мають одну й ту саму границю , і при всіх , починаючи з деякого номера, справджуються нерівності , то .

Дійсно, нехай дано . Оскільки , то існує таке , що , Оскільки , то існує таке , що . Нарешті , нехай нерівності справджуються при всіх . Виберемо тепер . Тоді всі нерівності справджуватимуться одночасно : , , , звідси , або . Це означає, що .

Послідовність називається нескінченно малою , якщо її границя дорівнює нулю.

Теорема 5. Сума скінченного числа нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала послідовність.

Теорема6. Добуток обмеженої послідовності на нескінченно малу послідовність є послідовність нескінчено мала.

Теорема 7. Для того, щоб послідовність мала границю, яка дорівнює , необхідно і достатньо, щоб існувала така нескінченно мала послідовність , що .

Теорема 8. (про границю суми). Якщо послідовності і , то послідовності мають границі, причому Доведення.

6. Границя послідовності. Властивості збіжних послідовностей.

Нехай , . За теоремою 7 дістаємо, що , , тоді . Оскільки величина -- нескінчено мала, то . Звідси за теоремою 7 , або , що те саме,

Теорема 9. (про границю добутку). Якщо послідовності і ,то послідовність має границю, причому

Доведення аналогічне доведенню теореми 8.

Наслідок. Сталий множник можна виносити за знак границі.

Лема. Якщо послідовність , має границю, відмінну від нуля, то послідовність обмежена.

Теорема 10 (про границю частки). Якщо послідовності і , причому і всі , то границя частки існує і .

Доведення.

З умов і маємо , , де , нескінченно малі, тоді

. За властивостями нескінченно малих величин є нескінчено малою величиною. Тоді -- нескінченно мала як добуток обмеженої та нескінченно малої послідовностей. Таким чином, , де -- нескінченно мала. Звідси маємо, що .

7. Різні означення границі функції. Їх еквівалентність.

Нехай задана функція в області визначення X , і задана точка , яка може і не належати до області визначення.

Означення 1 "мовою послідовностей". Число називається границею функції в точці , якщо для всякої послідовності , що збігається до , відповідна послідовність значень функції збіжна до .

Означення 2 мовою "". Число називається границею функції в точці , якщо для всякого існує таке , що з нерівності слідує нерівність .

Еквівалентність означень.

Нехай виконується означення 2, тобто для всякого існує таке , що з нерівності слідує нерівність . Оберемо з області значень функції послідовність . За означенням границі послідовності це означає, що для всякого існує , що з того що слідує , а згідно нашого припущення , буде вірною і така нерівність , а це й означає, що

Нехай виконується означення 1, тобто для всякої послідовності , що збігається до , відповідна послідовність значень функції збіжна до . Припустимо, що означення 2 не виконується, тоді існує таке , що . Виберемо такі що :

…………………………

…………………………

Нехай , тоді , а оскільки виконується означення 1, то це означає, що , а це протирічить тому, що .

Отже, наше припущення невірне.

Число називається границею функції в точці зліва (лівосторонньою), якщо для всякого існує таке , що з нерівності слідує нерівність .

Число називається границею функції в точці справа (правосторонньою), якщо для всякого існує таке , що з нерівності слідує