Теорема. Щоб існувала границя функції в точці, необхідно і достатньо, щоб існували і були рівні односторонні границі.

8. Існування границі для монотонних послідовностей та функцій. Критерій існування

границі для послідовностей, функцій.

Теорема про існування границі монотонної послідовності.

I. 1) Якщо послідовність монотонно зростаюча можливо в широкому сенсі і обмежена зверху, то вона має скінчену границю.

2)Якщо послідовність монотонно зростаюча можливо в широкому сенсі і необмежена зверху, то .

II 1) Якщо послідовність монотонно спадна і обмежена знизу, то існує скінчена границя .

2) Якщо послідовність монотонно спадна і необмежена знизу, то .

Доведення.

I 1) Дано послідовність, яка зростаюча і обмежена зверху. Отже існує , що для всіх виконується , то ми маємо множину і вона обмежена зверху, то для неї існує верхня точна грань , . З властивості випливає: якщо ми візьмемо трохи менше число ніж , то знайдене з послідовності більше за число, яке менше за , тобто . Тоді знайдеться (*). Але для всіх номерів маємо , тоді . З другого боку для будь-якого . Ми маємо : , . Тобто ,. Це означає, що є границею.

2) Послідовність зростаюча і необмежена зверху, тобто яке б ми не взяли (як завгодно велике), то знайдеться . Тепер використаємо зростання. Для всіх , . Це і означає, що .

II Доводиться аналогічно.

Теорема про існування границі монотонної функції.

I. 1) Якщо визначена на множині і там зростає навіть у широкому розумінні, і обмежена зверху. Точка —точка скупчення множини , така що всі , ,то існує скінчена ,

2)Якщо функція необмежена але зростаюча, то .

II. 1) Якщо спадна навіть в широкому розумінні і обмежена знизу, точка —точка скупчення множини, така що всі, , то існує скінчена .

2)Якщо функція не обмежена знизу і спадна, то .

Доведення.

I. 1) обмежена зверху і зростаюча, точка —точка скупчення, де всі. Нехай . Розглянемо всю множину значень функції, коли Ця множина обмежена зверху, тому , таке що . Якщо множина обмежена зверху, то вона має точну верхню грань, , . З означення верхньої межі маємо . Візьмемо і розглянемо , то знайдеться де , які В силу того, що , ми маємо, що , як тільки . Це і доводить, що є границею.

2) не обмежена зверху, це означає, що яке б ми (як завгодно велике) не взяли, то знайдеться , що таких, що виконується в силу

II. Доводиться аналогічно.

8. Існування границі для монотонних послідовностей та функцій.

Критерій існування границі для послідовностей (критерій Больцано-Коші).

Для того щоб послідовність мала , необхідно і досить, щоб (як завгодно малого) знайшовся номер , такий що і , виконувалась нерівність (1)

Доведення

Дано, що завжди існує номер , і , . Доведемо, що , . Виберемо . Маємо нерівність (1) . Розкриємо її . Зафіксуємо . Ззовні інтервалу могло залишитися хіба що членів послідовності. Це зокрема . Виберемо і . Тоді тобто послідовність обмежена. Тоді за теоремою Вейєрштраса із обмеженої послідовності можна виділити збіжну підпослідовність . . Покажемо, що . у нас виконується (1). Можна взяти . Тоді , що має місце (2). І розглянемо (3). має границею число , це означає, що номер , що виконується (4). Якщо , то . Знайдемо . Якщо то виконується (4) і (2), тому виконується і (3). , тому (3) має такий вигляд . Ми одержали: , що . А це означає, що . Отже

Критерій збіжності для функцій (принцип Больцано-Коші).

Для того щоб існувала скінчена границя необхідно і досить щоб знайшлося , таке що як тільки і , то (1),

Доведення. Точка скупчення .

Необхідність. Нехай існує скінчена границя (2), . Потрібно довести, що з (2) слідує (1). Сформулюємо означення границі на мові : , (3). Розглянемо таке, що задовольняє (3), (4). Розглянемо + . В силу (4) як тільки виконується (3) маємо, що . знайдеться ,

Достатність. Виконується (1). (3).

у випадку . Треба довести, що існує

Якщо то . Якщо то Але ми знаємо, що означення границі на мові еквівалентне означення на мові послідовностей.

Достатність випливає із критерію Больцано-Коші для послідовностей.

9. Неперервність функції в точці. Точки розриву. Неперервність елементарних функцій.

Нехай функція визначена на множині і точка — точка скупчення , , тобто визначена функція в цій точці

Озн1. Якщо , то називається неперервною в точці

Озн2. (на мові . (як завгодно малого) (як завгодно мале) таке, що , то функція називається неперервною в точці

Озн3. Яку б ми послідовність не взяли таку, що , що послідовність значення функції , то називається неперервною в точці .

Озн4 (на мові приростів). — приріст функції в точці . Якщо приріст аргумента нескінченно малий, то і приріст функції нескінченно малий. Тому функція неперервна в точці якщо як завгодно малому приросту аргумента в т. відповідає як завгодно малий приріст функції в точці

Озн5. Нехай функція визначена в області , точка —точка скупчення, . Якщо і то називається неперервною в точці .

Якщо функція не є неперервною в точці , то її називають розривною в точці .

Озн6. Якщо неперервна в кожній точці , то говорять, що неперервна в

Розриви.

Якщо , якщо то такий розрив називається усувним.

Функція в точці має розрив I-го роду або стрибок якщо і

Якщо в точці функція