Приклади.

1) Якщо ми візьмемо і нескінченно малі, то неперервна в кожній точці.

2) Добуток скінченої кількості неперервних функцій неперервна функція.

3) В області функція неперервна в кожній точці.

неперервна завжди, приріст значення функції малий.

4) . Треба показати, що Розглянемо .

. Маємо

5) Якщо , функція неперервна як частка неперервних функцій.

6) Розглянемо , тому , як тільки . Якщо прологарифмуємо. , якщо . Так, що Для треба розглядати . Звідси виходить, що функція неперервна функція для всіх

10. Основні визначні границі

1) .Довед. а) , оскільки дуга х прямує до нуля, то можна вважати, що . В крузі радіуса побудуємо кут і нехай -довжина перпендикуляра, опущеного з т.В на радіус і - відрізок дотичної до кола, проведеної в т.А до точки перетину її з продовженим радіусом . Тоді маємо: . Оскільки і , то отримуємо , тобто . Поділимо всі члени останньої подвійної нерівн. на додатню величину , отримаємо , або . Нехай , тоді . Таким чином з останньої нерівн. випливає, що ф-ція лежить між двома ф-ціями, які мають спільну границю, що=1. На основі теореми про проміжну ф-цію отримуємо (*). б) Нехай , маємо , де . Тому (**). З формул (*) і (**) випливає потрібна рівність.

2) . Довед. Користуючись біномом Ньютона, отримаємо або

.(1) При всі доданки в ф-лі (1) додатні, причому при збільшенні показника збільшується к-сть доданків і кожен доданок стає більшим. Отже, послід. починаючи з найменшого значення зростає разом з показником . З іншої сторони, кожен доданок у правій частині ф-ли (1) збільшиться, якщо всі множники знаменників замінити на 2,а кожну з дужок замінити 1. Тому . Знайшовши, суму геометричної прогресії маємо . Звідси . Отже, при члени послід. зростають, але залишаються більшими за 2 і меншими за 3. Тобто , де . Аналогічно можна довести, що .3).Довед. Аналогічно виводиться, що .

11. Рівномірна неперервність.Теорема Кантора.Наслідок.

Якщо ф-ція визначена на деякому проміжку і неперервна в т. цього проміжку, то або , що з . Припустимо, що ф-ція непер. на всьому проміжку , тобто непер. в кожній т. цього проміжку. Тоді для кожної т. по заданому . При зміні в межах , навіть якщо незмінюється, число буде мінятися. Тому постає питання : чи можна вибрати одне , при заданому , яке б задовільняло усі .

рівномірно непер. в обл. , якщо вона непер. в кожній точці обл. і та , що . Отже, рівном. непер., це така непер., що для всіх точок можна вибрати одне .

Т. Кантора. Якщо визначена і непер. в замкнутому проміжку , то вона рівном. непер. на цьому пром.

Довед.(від супрот.) Припустимо, що не рівном. непер. Тоді, яке б число не взяли, на проміжку такі два значення і , що і . Візьмемо послід. додатніх чисел так, щоб . Тоді для кожного в значення і такі, що і . За лемою Больцано-Вейерштраса з обмеж. послід. можна виділити підпослід збіжну до деякої т. пром. . Тоді і сама послід. збігається до . Оскільки , то одночасно і послід. збіг. до . Тоді в силу непер. ф-ції в т. повинно бути і так що а це суперечить тому, що при всіх значеннях .

Наслідок. Нехай ф-ція визначена і непер. у замкнутому пром.. Тоді , що якщо пром. довільно розбити на частинки з довжинами меншими , то в кожному з них коливання ф-ції буде менше .

14. Похідні і диференціали вищих порядків.

Якщо ф-я у=,має похідну на деякому проміжкуі якщо в кожній точці, то вона теж є функція. (=–похідну від першої похідної наз. другою похідною. Якщо визначена в обл., то її можна розглядати як нову ф-ю і шукати її похідну. Якщо похідна від другої похідної, то її наз. третьою похідною, позначають і т.д. Похідною -го порядку наз. пох. від (-1) порядку. Нехай , .Розгл. її як ф-ю. Якщо ( то її наз. -ю похідною. Позначають , , .

По аналогії можна ввести поняття диф. вищих порядків. Нехай -диф. першого порядку визначений в , то він є ф-ю від . Якщо =то його наз. диф. другого порядку і т.д. =–наз. диф. -го порядку.

Загальні формули.

(±)= 2.

Формула Лейбніца. , де .Дов. методом матем. індукції. =1 ().

=2 =. Припустимо, що формула вірна для =. Доведемо для =, ==

………… Доведено. Тут було використано , , .

4. = якщо -іррац. >0 то

5. =ln, то

6. (cos)=cos(+), (sin) =sin(+).

Формули за якими обчислюються диференціали.

, … , , Дійсно,

Розглянемо випадок коли :

15. Формула Тейлора. Залишковий член у формі Пеано, Шлеміліха і Роша,

Лагранжа, Коші.

Нехай (1), де має нескінченну кількість похідних.

; , … , .Підставимо у цих формулах : , , 2,…,=1 = (2), підставимо ці коефіцієнти в (1): +++…+ (). Розкладемо по степенях : +()( (3). Заміна =: =+ (4). Якщо =0, то маємо =, =, … , = (5). Підставимо (5) в (3): =+()+…+(– ф-ла Тейлора для многочленна.

Формула Тейлора для довільної ф-ї.

Нехаймає похідні до -го порядку включно в т..

=+()++…+ (1). -–=, де –залишок після -го члена. Тому =+=+.Якщо =0, то