Залишковий член у формі Пеано. =о((). =.

Теорема. … (3), то =о(). Якщо (3) виконується то є нескінченно малою вищого порядку малості ніж , то = о().

Дов. Методом мат. індукції.Достатньо, щоб .Розг.

=о(). Нехай викон. для похідних. Перевіримо о(), маємо о()=о() Дов –но.

–загальна формула для залишку. Підбираючи ф-ю ми отримаємо конкретну форму запису залишку.

1. Форма Шлемільха і Роша. =, , . , . ==

=

2. Форма Коші. Коли =, отримуємо

3. Форма Лагранжа. Коли , =,

16.Необхідні і достатні умови сталості функції, монотонності функції.

Необхідні і достатні умови сталості функції.

Теорема. Нехай функція визначена на проміжку X і всередині цього проміжку має похідну , а на кінцях (якщо вони належать X) зберігає неперервність. Для того, щоб функція f(x) була тотожня константа в X необхідно і досить, щоб =0 в середині X.

Дов. Необхідність. Нехай тотожня константа , .То очевидно, що.Необхідність виконується.

Достатність. Дано, що похідна у кожній точці дорівнює нулю. Треба показати, що тотожня стала. Це означає, що які б ми дві точки з області X не взяли .

Застосуємо теорему Лагранжа. . ==const.

Теорему доведено.

Наслідок. Якщо і g(x) визначені на проміжку X і всередині нього мають скінченні похідні і g(x), ці похідні рівні, то ці функції відрізняються на сталу

Дов. Функція -g(x) має похідну .То

Необхідні і достатні умови монотонності функції у широкому розумінні.

Теорема. Нехай визначена на проміжку X і всередині нього має скінченну похідну .Для того, щоб була монотонно зростаючою (спадною) у широкому розумінні необхідно і досить, щоб .

Дов. Необхідність. Нехай неспадна (не зростаюча) Застосуємо теорему Лагранжа: (1).Припустимо що Оскільки і , то з (1) . . Аналогічно для зростаючих.

Достатність. Нехай похідна для всіх x, що міститься всередині X , тоді з формули (1) видно, що .Тобто функція не спадна. Теорему доведено.

Необхідні і достатні умови монотонності функції у вузькому розумінні.

Теорема. Нехай визначена на проміжку X і всередині нього має скінченну похідну . Для того, щоб була в X монотонно зростаючою (спадною) у вузькому розумінні необхідно і досить, щоб :

1); 2) не утворюють інтервал, який повністю міститься в X.

Дов.

Необхідність.

1)Нехай - строго монотонно зростаюча для . За попередньою теоремою . 2) Від супротивного. Нехай утворює інтервал ,який повністю міститься в X. Тоді візьмемо інтервал і застосуємо на цьому інтервалі теорему Лагранжа . Але всі . Тому . Звідси випливає, що функція немонотонна у вузькому розумінні. Наше припущення не вірне. Отже нулі похідної не заповнюють інтервал .

Достатність.

Нехай виконується 1) і 2). В силу 1) ми маємо - монотонна у широкому розумінні. І нехай вона немонотонна у вузькому розумінні, тобто , який міститься в X, що для всіх точок із функція . То тут її похідна . І ці x заповнюють цілий інтервал , який повністю міститься в X. Це суперечить 2). Тому функція монотонна у вузькому розумінні. Теорему доведено.

17.Екстремум ф-ї. Необхідна умова, достатні умови.

Якщо ф-я визначена і неперервна на відрізку , не є в ньому монотонною, то знайдуться такі частини відрізка , в яких найбільшого і найменшого значення ф-я досягає між т-ами і . Це означає, що графік ф-ї складається з горбів і впадин.

Візьмемо . Якщо для цієї т-и окіл такий, що виконується то говорять, що т-а є т-ою локального екстремуму ф-ї . Якщо виконується , то в т-і маємо max. Якщо виконується , то в т-і маємо min. Якщо виконується , то кажуть, що ф-я у т-і маємо строгий max, якщо ж - то строгий min. Якщо нерівності строгі, то це власні екстремуми, якщо нестрогі - невласні. У т-і за Т. Ферма =0. Т-и в яких =0 назив. стаціонарними, вони підозрілі на екстремум. Але екстремум може бути в т-ах у яких похідна не існує, або = .

Достатні умови екстремуму. Нехай підозріла на екстремум .Тоді: 1) в ній може похідна існувати і =0 ; 2) може не існувати; 3) . окіл за винятком хіба що самої т-и , в околі похідна. Якщо похідна проходячи через т-у міняє знак на протилежний, то в т-і екстремум. На проміжку -спадає, на - зростає. Тому . Це означає, що в т-і є min . Якщо >0 при і <0 при , то це означає, що , тобто у т-і є max.

Теорема1. Якщо т-а підозріла на екстремум і в деякому околі похідна, яка проходить через т-у міняє знак з “-“ на “ +” , то т-а min , або з “ +” на “-“ , то т-а max.

Теорема 2. . Якщо в т-і =0, а , то в т-і є екстремум ф-ї . Зокрема, якщо , то у т-і є min. Якщо , то у т-і є max.

Дійсно в силу леми, такої, що , якщо ф-я в середині Х має похідну в т-і і вона >0, (<0), то ф-я зростаючи проходить через т-у (ф-я спадаючи проходить через т-у ). Застосуємо цю лему до . в деякому околі і в т-і . Тоді, якщо , то проходить через т-у зростаючи. Це означає, що в околі т-и похідна міняє знак з “-“ на “ +” . Тому