Очевидно, що Т.2 вужча, ніж Т.1. Вона вимагає існування похідної в околі .

Теорема 3. Нехай має похідні до n-го порядку включно в т-і , при чому , . Якщо n-парне, то в т-і є екстремум. Якщо n-непарне, то в т-і екстремум не . Зокрема, якщо: , то min ; - то max. Якщо k=1, то маємо Т.2.

Дов. Оскільки в т-і n-похідна, то похідна (n-1)-порядку в деякому околі. Застосуємо до ф-ї ф-лу Тейлора: . . - нескінченно мала при . Маємо: . Якщо n=2k, то при . І знак приросту у т-і повністю визначається знаком n-ої похідної у т-і . Якщо n-а похідна у т-і > 0, то для всіх , тоді в є min. Якщо

17.Екстремум ф-ї. Необхідна умова, достатні умови.

<0, то для всіх , тоді в т-і є max. Якщо n=2k+1, тоді міняє знак коли , то і коли , то , тому для різних міняється і знак приросту ф-ї. при має знак протилежний знаку . при має знак такий, як похідна. Тому тут нема екстремуму. ().

Всі достатні умови екстремуму доведено. Вони використовуються, якщо підозрілі т-и на екстремум ізольовані, тобто такі, що існує окіл , то в цьому околі підозріла т-а.

18. Випуклість графіка функції. Необхідні і достатні умови випуклості. Точки перегину графіка функції. Умови існування.

Озн.І Функція , визначена і неперервна на проміжку , називається випуклою (випуклою вниз), якщо виконується нерівність , , . Якщо виконується протилежна нерівність, то функцію називають вгнутою (випуклою вверх).

Властивості випуклих функцій:

1.Якщо –випукла, то , , теж випукла.

2.Якщо і –випуклі одночасно вверх або вниз, то їх сума має таку саму випуклість як і кожний доданок.( Зауваження: Добуток двох функцій може бути і не випуклим).

3.Якщо є випуклою і причому зростаючою функцією, а також випукла, то і складна функція буде випуклою.

4.Якщо функції і взаємно обернені функції, то якщо випукла і зростаюча, то вгнута і зростаюча. Якщо випукла і спадна, то випукла і спадна. Якщо вгнута і спадна, то –вгнута і спадна.

5.Якщо випукла на , то вона не може досягати в середині проміжку максимального значення.

6.Якщо для точок і виконується строга нерівність, то вона має місце для всіх точок із проміжку. Якщо виконується рівність для двох точок то вона виконується для всіх точок.

Озн.ІІ Функція , визначена і неперервна на проміжку , називається випуклою (випуклою вниз), якщо виконується нерівність , або (1), де .

Т1.Нехай функція визначена і неперервна на проміжку і має в середині скінченну похідну .Для того щоб була випукла (вгнута) необхідно і досить, щоб зростала (спадала) (в широкому розумінні).

Необхідність. Нехай функція випукла, то виконується (1) в такому вигляді: . Перейдемо до:; . Отже, . Тому функція зростає в широкому розумінні.

Достатність. Нехай зростає. Покажемо, що , виконується , причому . Розглядаємо (за т. Лагранжа), . Аналогічно, , . Отже, , .

Т2. (для функцій, що мають ІІ похідну). Для того, щоб була випуклою (вгнутою) необхідно і досить, щоб в .

Т3. Нехай функція визначена і неперервна на проміжку і має в середині скінченну похідну . Для випуклості функції необхідно і достатньо, щоб її графік усіма точками лежав над будь-якою своєю дотичною (або на ній).

18. Випуклість графіка функції. Необхідні і достатні умови випуклості. Точки перегину графіка функції. Умови існування.

Необхідність. Дотична до кривої в точці має кутовий коефіцієнт . Рівняння дотичної запишеться так: . Потрібно показати, що в нас виконується нерівність (2) . Вона рівносильна таким: для і для . Якщо в першу із них покласти , , а в другу , то одержимо потрібні нерівності.

Достатність. Припустимо навпаки, що виконується нерівність (2) і відповідні їй рівносильні нерівності. Тоді з цих рівносильних нерівностей можна встановити такі: і , звідки випливатиме, що .

Озн. Точка графіка, яка є межею, що відмежовує випуклість вниз від випуклості вверх називається точкою перегину графіка або функції.

Якщо функція має скінченну похідну, то точка є точкою екстремуму для .

Необхідною умовою є (3), або -не існує (4), або чи - (5). Отже, всі точки , де виконується (3)-(5) підозрілі на перегин. Звідси випливає достатня умова, щоб була точкою перегину для .

Якщо існує окіл і в якому при проходженні через точку похідна міняє знак, то є перегин, якщо ж знака не міняє то перегину немає.

Якщо , , причому - похідна непарного порядку, то в точці є перегин, якщо - похідна парного порядку, то в точці немає перегину.

19. Асимптоти графіка функції. Знаходження асимптот.

Розглянемо . Якщо , , , де -скінченне число, то пряму називають вертикальною асимптотою графіка функції . Якщо , де -скінченне число, то -називають горизонтальною асимптотою графіка функції .

Пряма є похилою асимптотою графіка функцій .

Теор. Для того, щоб існувала - похила асимптота необхідно і досить, щоб існували (1) і (2).

Дов. Оскільки різниця ординат тільки сталим множником (рівним косинусу кута між асимптотою і віссю ) відрізняється від відстані , то при одночасно з повинна прямувати до нуля і ця різниця: . (3). Розділивши на , одержимо , крім того з (3)