20. Первісна функція, властивості. Таблиця первісних.

Розглянемо таку задачу: прискорення задано як функція від часу : . Потрібно знайти швидкість і шлях в залежності від . Тобто, тут потрібно за функцією відновити ту функцію , для якої буде похідною, а потім, знаючи функцію , знайти ту функцію , для якої похідною буде .

Функція на даному проміжку наз. Первісною для функції або інтегралом від , якщо на всьому цьому проміжку буде похідною для функції або, що служить для диференціалом: або .

ТЕОРЕМА. Якщо в деякому проміжку функція є первісною для функції , то і функція , де -будь-яка стала, також буде первісною. І навпаки: кожна функція, первісна для на проміжку , може бути представлена в такому вигляді.

Доведення: Те, що разом з і буде первісною для є очевидним, бо .Нехай - довільна первісна для функція, так що на проміжку . Так як функції і на даному проміжку мають одну і ту ж похідну, то вони відрізняються на похідну: . Доведено.

Отже, , де - довільна стала, являє собою загальний вигляд функції, яка має похідну або диференціал . Дане означення – це означення невизначеного інтеграла і позначається , де - підінтегральний вираз, а - підінтегральна функція. Звідси випливають такі властивості:

1.. 2. або .

Повертаючись до задачі, сформульованої на початку, тепер ми можемо записати і . Властивості:

1. Якщо - стала , то .

Дов. .

2. .

Дов. .

3. .

Дов. ,тоді.Таб.Первісних:

............. .

21. Заміна змінної та інтегрування частинами.

Інтегрування шляхом заміни змінної. В основі цього методу лежить таке зауваження: якщо відомо, що , то тоді .

Дійсно, , якщо врахувати, що , або .

Нехай потрібно обчислити такий інтеграл: . В багатьох випадках замість нової змінної вдасться вибрати таку функцію , щоб підінтегральний вираз набув такого вигляду: , де - зручніша для користування функція ніж . Тоді достатньо знайти такий інтеграл: , щоб після підстановки отримати шуканий інтеграл. Звичайно записують так: , враховуючи, що в функції від проведена вище вказана заміна.

Інколи роблять іншу заміну. А саме: в підінтегральнім виразі підставляють замість функцію від нової змінної і отримують в результаті такий вираз: .

Інтегрування частинами. Нехай і є дві функції від х, які мають неперервні похідні і . Тоді за правилом диференціювання добутку або . Для виразу первісною буде , тому має місце така формула: (1)- формула для інтегрування частинами. Вона приводить інтегрування виразу до інтегрування такого виразу: .

Правило інтегрування частинами має більш обмежену область використання ніж заміна змінних. Але є цілі класи інтегралів, наприклад,,, , і т. д., які обчислюються саме за допомогою інтегрування частинами.

Повторне використання правила інтегрування частинами приводить до загальної формули інтегрування частинами.

Припустимо, що функції і на деякому проміжку мають неперервні похідні до -го порядку включно: .

Замінивши в формулі (1) на , ми отримаємо

. Аналогічно, ,

,

.

Домножуючи дані рівності по черзі на +1 або на -1 і складаючи їх почленно по знищенню однакових інтегралів у правій і лівій частинах, ми прийдемо до такої формули: .

Особливо вигідно користуватися даною формулою, коли одним із множників підінтегральної функції є многочлен. Якщо являє собою многочлен -го степеня, то . І для інтеграла в лівій частині отримаємо кінцевий результат.

22. Інтегрування раціональних функцій.

Розглядаємо невизначені інтеграли від неперервних функцій. Нас цікавить, коли вони виражаються через скінчену кількість елементарних функцій. Випадок, коли інтеграл виражається через скінчену кількість елементарних функцій називається взяття інтеграла в скінченому вигляді в квадратурах або інтегрування в скінченому вигляді. Є багато невизначених інтегралів, які не беруться в скінчених квадратурах.

Нам потрібно виділити класи підінтегральних функцій, щоб інтеграл від них брався в скінчених квадратурах. 1.Раціональні або дробово-раціональні функції:

Найпростішим представником цього класу є многочлен:

Дробово-раціональна функція – відношення двох многочленів та

2.Прості дроби

3.Інтегрування правильних дробів

Маємо правильний дріб .Розглянемо знаменник дробу . Розкладемо його на добуток незвідних многочленів над R.

,де

дійсний корінь кратності дійсний корінь кратності .-многочлени, які не мають дійсних коренів.

Правильний нескоротний дріб має вигляд:

Кожний доданок вміємо інтегрувати.

22. Інтегрування раціональних функцій

Метод невизначених коефіцієнтів:

Коефіцієнти (2) визначаються однозначно.

Правильний нескоротний дріб представимо у вигляді (1) з коефіцієнтами (2). Зводимо до спільного знаменника і прирівнюємо P(x) до чисельника зведеного дробу. Коефіцієнти при однакових степенях х повинні бути рівні. Прирівнюємо коефіцієнти і знаходимо їх з отриманих рівнянь. Потім можемо інтегрувати уже суму простих дробів.

Виділення раціональної частини при інтегруванні раціональних функцій.(Метод Остроградського). Обчислимо,,

Покажемо, що .(3) і - многочлени з невизначеними коефіцієнтами, які шукаються методом невизначених коефіцієнтів однозначно. розкладаються на дроби. .Нехай виконується рівність(3).Візьмемо зліва і справа похідну.

Якщо домножимо похідну на , то в кожному доданку множником буде , тому - многочлен, а отже - многочлен. Тому в чисельнику ми маємо многочлен .З цієї рівності визначаються коефіцієнти цього многочленна.

Якщо замість аргумента деяка раціональна функція:

.Для того, Щоб знайти робимо заміну

22. Інтегрування раціональних функцій

Інтегрування раціональних функцій від тригонометричних аргументів.

Розглянемо раціональну функцію R(u,v). Нехай u=sin(x), v=cos(x), то R(sin(x), cos(x)) -неперервна по x.