= =

23.Означений інтеграл. Необхідна умова інтегровності. Необхідні і достатні умови інтегровності.

Нехайвизначена на відрізку . Відрізок розбиваємо на частини , . На кожній частинці виберемо довільну точку .Обчислимо значення функції в цій точці і помножимо на .

Утворимо суму

- інтегральна сума Рімана для на відрізку .

. Якщо границя існує скінчена, не залежить від вибору точок і поділу відрізка на частини, то цю границю називають визначеним інтегралом від функції

на відрізку . , нижня межа інтеграла, верхня межа інтеграла.

Дамо означення цієї границі на мові (за Коші):

Якщо таке, що як тільки то незалежно від вибору точок і способу поділу відрізка на частини.

Означення границі на мові послідовностей(за Гейне).

Візьмемо поділ відрізка і знайдемо при цьому поділі ,другий поділ, , що відповідає другому поділу. Позначимо ий поділ, , що відповідає му поділу. Послідовність поділів називають основною послідовністю поділів, якщо відповідна послідовність.

Визначений інтеграл на мові послідовностей:

Якщо, яку б не взяли основну послідовність , то відповідна їм послідовність незалежно від вибору точок , то говорять, що

Якщо , то функція інтегровна за Ріманом на . Позначають .

Необхідна умова інтегровності.

Нехай функція інтегровна за Ріманом на , то обмежена на відрізку ,тобто необхідною умовою інтегровності є обмеженість.

Покажемо це.

Нехай функція - інтегровна за Ріманові необмежена зверху. Тоді, якщо будемо відрізок розбивати на частини, то завжди знайдеться частина , на якій необмежена. Вибираючи точки так, щоб було як завгодно великим, тоді інтегральна сума також стане необмеженою, як завгодно великою, що суперечить тому, що має скінчену границю при , яка не залежить від вибору точок .Одержали суперечність. Отже всяка інтегровна функція є обмеженою, але якщо функція обмежена то звідси не слідує, що вона інтегровна за Ріманом.

Введемо суми Дарбу.Шукаємо

- нижня сума Дарбу - верхня сума Дарбу

23.Означений інтеграл. Необхідна умова інтегровності. Необхідні і достатні умови інтегровності.

Необхідні і достатні умови інтегровності.

Для того, щоб інтеграл існував необхідно і досить, щоб . Цю необхідну і достатню умову можна записати через коливання .

Доведення.

Необхідність.

Нехай функція інтегрована за Ріманом на . Покажемо, що . Сформулюємо означення границі на мові : , що як тільки , то . Розкриємо (1):

.

З властивостей сум Дарбу маємо: . А це і означає, що

Достатність.

Нехай виконується

, де

.А це і означає, що . Отже,

24. Класи інтегровних функцій.

1)Неперерв. на ф-ції ; f(x)C[a,b]

Доведення. Перевір. необх. і дост.умови Рімана. . =maxx 0

(1’) ; (1’) на мові звучить так: Щоб f(x) була інтегрована за Ріманом на f(x) необх. і дост.,щоб для >0,,що як тільки 0 (*)-це необ. дост.умова. w=;w-коливання.

x, f(x)

m

в точ.x і x

Якщо f(x) непер. на ,то вона рівномір. непер.

Наслідок: Якщо f(x),що якщо розбити відрізок на частин.<, то коливання w<. Цей наслідок використ.для доведення.

>0, >0, <, тобто max<<, <

Ми одержали (*),а це необх. і дост. у.,щоб ф-ція була інтегрована.

2клас.f(x), x і монотонна. Монотон.ф-ції можуть мати скінч.або злічен.кількість розривів І роду,тому це не підходить до 1-го класу.

А)неспадна: перевір. викон.умови (*). розіб’єм на частини. a=x<…<x

w; (2); >0, 0<<

< (3) В (3) підстав. (2).

<

<

3 клас f(x), x, неперерв.за винятком скінч.кільк.точок в яких є розрив І роду.В x ф-ція f(x) має стрибки,а для точ.x, i=1…k f(x)-непер.Покажемо,що f(x) інтегр. на . <, (x<; , …,-на цих відрізках ф-ція непер.і на кож.відрізку викон.наслідок зтеор. Кантора,то по >0, >0,що коли розбити на частини j-відрізок <,то w<; minі зробимо розбиття на частини,де

<Може бути,що частинки лежать в -околі точки,тому:

В цих сумах не викон.наслідок теореми Кантора,тому wзамінимо на -коливання, f(x) на . <2

<<; (<; <; w<; < і буде виконуватись

(*) Ми виділили 3 основні класи ф-цій,які є інтегровані.

25.Властивості означених інтегралів.

Означення:f(x), x, a=x<x<…<x<x<…<x; , i=0,1,…,n-1;

max; x; 0Обчислимо значення ф-ції в цій точ. f(.Утворимо суму

; -це інтегральна сума Рімана для f(x); x; Якщо ,скінченна,не залежить від вибору точок і поділу відрізка на частини,то цю границю назив.визначеним інтегралом від ф-ції f(x)на і позначають: I=Цей інтеграл назив.інтегралом Рімана.

Щоб довести необх.і достат.умови і-ння інтеграла Рімана вводять суми Дарбу:

mf(x), x-розіб’ємо на n-частин і шукаємо inff(x)=m; supf(x)=M; x

s=-нижня сума Дарбу; S=-верхня сума Дарбу. m;

,то ;

2) ; ; >0;Цю нерівність помножимо на :

Додамо ці нерівності:.Коли , є або ,тоді або .

Якщо до точ.поділу приєднати ще одну точ.,то s-зростає, а S-спадає.

Доведення. На к-частинці вставимо ще одну точ.поділу.

і обєднаємо і одержимо .На всіх частинах залиши.без змін крім і=к.

Inff(x)=m’; x; inff(x)=m” ; x.На , inff(x)=m.Ми встановили в сумі s всі доданки без змін, крім того що замість m появиться

; ; ,тому s зростає. Аналогічно для S.

Нехай s-суми Дарбу,що відповідають поділу (Т1). -суми Дарбу,що відповідають поділу (Т2),то нижні суми Дарбуверхніх сум Дарбу,навіть тих,що відповідають іншим поділам,тобто:

Доведення. (Т1): До поділу (Т1) приєднаємо всі точ.,які є в (Т2) і не належать (Т1). Утвор. (Т3),тоді .До (Т2) приєднаємо точ. з (Т1)(Т3)(інший),тому ,то

Доведено.

Нижній і верхній інтеграли Дарбу: нижні суми Дарбу,які відповідають будь-яким розбиттям менші від , (,то множина нижніх сум Дарбу обмежена зверху,то за теор.про існування точних граней,множина нижніх сум Дарбу має точну нижню грань.

-нижній інтеграл Дарбу.Для обмеженої ф-ції нижній інтеграл дарбу скінчений.Розглянемо сукупність верхніх сум Дарбу: S>s (S обмежена знизу s )

S>s,тому суми S мають скінченну точну нижню межу