,

25.Властивості означених інтегралів

Необхід.і достат.умова існування інтеграла Рімана

1)-це через суми Дарбу. Цю необх.і достат.умову можна записати через коливання:

Доведення. Нехай f(x)Сформулюємо означення границі на мові :

Яке б >0 не взяли, >0, <,то < (*) Розкриємо (*): -<<; <<.З властивостей сум Дарбу маємо: ;

Покажемо достатність: ; s; 0<; ;

. Доведено.

26. Інтеграл зі змінною верхньою межею, властивості. Формула Ньютона-

Лейбніца.

Якщо функція f(x) інтегровна в проміжку [a, b] (a?b), то вона інтегровна і на проміжку [a, x], де x є довільне значення з [a, b]. Замінивши границю b визначеного інтеграла змінною х, отримаємо вираз , (1) який є функцією від х. Ця функція має такі властивості:

Якщо функція f(x) інтегровна в [a, b], то буде неперервною функцією від х в тому ж проміжку.

Доведення. Надавши х довільного приросту (так, щоб x+h не виходило за межі даного проміжку), отримаємо нове значення функції (1) , так що . Застосувавши до цього інтегралу теорему про середнє значення ; (2) тут міститься між точними границями функції f(x) в проміжку [x, x+h], а отже, тим більше між (постійними) її границями в основному проміжку [a, b]. Якщо спрямувати тепер h до нуля, то, очевидно або , що й доказує неперервність функції .

Якщо припустити, що функція f(t) неперервна в точці t=x, то в цій точці функція має похідну, яка дорівнює f(x), тобто .

Доведення. Дійсно, із (2) маємо , або . Але, зважаючи на неперервність функції f(t) при t=x, для будь-якого знайдеться таке , що при для всіх значень t в проміжку [x, x+h]. В такому випадку виконуються нерівності , так що . Отже, , що й треба було довести.

Ми прийшли до такого висновку: для неперервної в проміжку [a, b] функції f(x) завжди існує похідна; прикладом її є визначений інтеграл (1) зі змінною верхньою межею.

Основна формула інтегрального числення (Формула Ньютона-Лейбніца).

Для неперервної в проміжку [a, b] функції f(x) інтеграл (1) є первісною функцією. Якщо F(х) є довільна первісна для f(x) функція, то . Сталу С можна визначити, поклавши тут х=а, бо ; будемо мати , звідси . Отже, . Зокрема, при х =b отримаємо . (А) – це основна формула інтегрального числення.

Отже, значення визначеного інтеграла визначається в різниці двох значень, при х =b і при x=a, будь-якої первісної функції.

Якщо застосувати до інтегралу теорему про середнє і згадати, що , то отримаємо .

27. Застосування означеного інтеграла(обчислення площ, об’єму тіла, довжини кривої)

Нехай ми маємо фігуру, обмежену однією або кількома замкненими кривими. Розглянемо множину многокутників, які повністю містять фігуру Р(їх площі позначимо В) і множину многокутників, які повністю містяться в фігурі Р(їх площі позначимо А). Множина чисел В обмежена знизу будь-яким А, тому вона має точну нижню грань Р. Множина чисел А обмежена зверху будь-яким , тому вона має точну верхню грань Р. Якщо зовнішня площа співпадає з внутрішньою, то говорять, що фігура квадровна, тобто така, що має площу. Для того, щоб фігура (Р) була квадровною, необхідно і достатньо, щоб існували 2 многокутники (А)-вписаний в (Р) з площею А і (В)-описаний навколо (Р) з площею В такі, що В-А<. Якщо ми маэмо фігуру (Р), (Р1)-частина її, (Р)=(Р1) (Р2), то з квадровності будь-яких двох з записаних 3 фігур випливає квадровність третьої і Р=Р+Р.

Нехай крива задається y=f(x), x[a, b], f(x) . [a, b] розіб’ємо на частини : a=x<…<x=b. Знайдемо supf(x) на кожній частині: supf(x)=Mі, inff(x)=m. Утворимо s=, S=. Візьмемо S-s=. S-площа описаного многокутника навколо трапеції, s-площа вписаного многокутника в трапецію. З необхідних і достатніх умов інтегровності ці площі мають одакову границю. Тому площа трапеції існує. Площа криволінійної трапеції, обмеженої прямими у=с, у=d, x=g(y), x, де g(y), g (y)-інтегровні на [c, d] рівна: S=. Для першої будемо мати: S=. Аналогічно площа криволінійного сектора рівна: s=, де g()=r, -полярний кут, r-полярний радіус, . Нехай маємо деяке тіло в трьохвимірному просторі. (А)- многогранник, який міститься в тілі (V) і має об’єм А, (В)- многогранник, який містить тіло (V) і має об’єм В. infB=V-зовнішній об’єм, supA=V- внутрішній об’єм. Якщо зовнішній об’єм співпадає з внутрішнім, то таке тіло називається кубовним. Для того, щоб тіло (V) було кубовне, необхідно і достатньо, щоб 2 такі многогранники (А) (V) і (В) (V) з об’ємами А і В, що В-А. Якщо (V)=(V)+(V), де (V) від(V) відділяється деякою поверхнею або (V) обмежена замкнутою поверхнею, то з кубовності двох з 3 тіл випливає кубовність 3 і об’єм V=V . Нехай в ХОУ маємо деяку неперервну криву f(x), при чому f(x)>0 і не перетинає осі х. Будемо цю криву обертати навколо осі ОХ. Поділимо відрізок [a, b] на частини і через точки поділу проведемо площини, перпендикулярні до ОХ. . На кожному проміжку [x, x] знайдемо supf(x)=M i inff(x)=m. Розглянемо циліндр r=m i r=M. Об’єми циліндрів рівні і . S=, s=. Оскільки функція неперервна, то S i s прямують до інтеграла =V. Розглянемо тіло, розміщене вздовж осі ОХ. Якщо робити перерізи тіла площинами, перпендикулярними до ОХ, частинки, площа яких залежить від точки, в якій зроблено переріз. Ці перерізи проектуємо в площину YOZ. Якщо ці перерізи мають один з одним спільні