Похідна функції. Похідна композиції функцій, оберненої функції. Таблиця похідних. Похідна функції, заданої параметрично.

Похідною даної функції наз. границя відношення приросту ф-ії до приросту незалежної змінної при довільному прямуванні цього приросту до нуля:

(x)=

П-д. Нехай y=x. Тоді

Теорема. Значення похідної (x) дорівнює тангенсу кута, утвореного з віссю Ох дотичної до графіка ф-ії y=f(x) у точці з абсцисою х.

Т.1. Похідна суми означеного скінченого числа функцій дорівнює сумі похідних доданків.

Т.2. Похідна добутку двох ф-ій дорівнює сумі добутків першої ф-ії на похідну другої і другої ф-ії на похідну першої.

Т.3. Похідна частки двох ф-ій дорівнює дробу, знаменник якого дорівнює квадрату дільника, а чисельник- різниці між добутком дільника на похідну діленого і добутком діленого на похідну дільника.

Тобто, якщо ми маємо дві функції U(x) і V(x) диференційовані в т. х, то буде диференційована їх сума, добуток і частка(V(x)0) 1)

Похідна складної ф-ії дорівнює добутку похідних від ф-ій, які її складають.

Якщо функція в точці х має похідну, то вона називається диференційованою в цій точці. Похідна оберненої функції. Нехай маємо функцію y=f(x). Нехай до неї існує обернена ф-ція

Теорема.1(?один варіант?)Якщо y=-неперервна ф-ія, яка обернена неперервній і має похідну ф-ії y=f(x) , то похідна існує і значення її обернене за величиною значенню при .

Теорема1(?другий варіант?). Якщо функція y=f(x) в т. х має похідну, не рівну нулю, то обернена ф-ція у відповідній точці-у також має похідну, яка записується: або Доведення:1) Надали приросту змінній у, 2) Тоді змінна х набирає приріст,

3),

4)

Отже

Похідна складної функції. Нехай y=f(u), а , то ми маємо складну ф-цію: .

Теорема2. Якщо функція f(u) має похідну , а ф-ція має похідну у відповідній точці х, то складна ф-ція має похідну

12. Похідна функції.Похідна композиції функцій, оберненої функції. Таблиця похідних. Похідна функції, заданої параметрично.

Доведення. Поскільки існує , то існує границя при . Поділимо обидві частини на і перейдемо до границі: Якщо , то Отже, тобто .

Похідна ф-ції, заданої параметрично.

Теорема3. Якщо ф-ції і мають похідні , причому , тоді існує похідна , рівна частці похідних. Доведення. Якщо у- ф-ція від х, то

Основна таблиця похідних:

13. Диференціал. Інваріантність форми диференціала.

Означення диференціала. Нехай маємо функцію y=f(x), визначену на деякому проміжку Х і визначену в розглядуваній точці х0. Тоді приросту х аргументу відповідає приріст

y=f(x0)=f(x0+x)– f(x0),

нескінченно малий разом з х. Більш важливим є питання, чи існує для y така лінійна відносно х нескінченно мала А·х (a=const), що їх різниця є, в порівнянні з х, нескінченно малою вищого порядку:

y=А·х+о(х). (1)

При А0 наявність рівності (1) показує, що нескінченно мала А· х еквівалентна нескінченно малій y і, значить, служить для останньої її головною частиною, якщо за основну нескінченно малу беруть х.

Якщо рівність (1) виконується, то функція y=f(x) називається диференційованою (при даному значенні х=х0), сам же вираз А·х називається диференціалом функції і позначається символом dy або df(x0).

Диференціал функції характеризується двома властивостями:

а) він представляє лінійну однорідну функцію від приросту аргументу;

б) відрізняється від приросту функції на величину, котра при х0 є нескінченно малою, порядку вищого ніж х.

Інваріантність форми диференціала. Правило диференціювання складної функції приведе нас до такої важливої властивості диференціала.

Нехай функції y=f(x) і x=(t) такі, що містяться в складній функції y=f((t)). Якщо існують похідні і , то існує і похідна:

. (2)

Диференціал dy, якщо x – незалежна змінна, буде визначатись за формулою (3). Перейдемо тепер до незалежної змінної t; в цьому припущенні маємо інший вираз для диференціалу:

.

Роблячи заміну похідної її виразом (2) і враховуючи, що це диференціал x як функції від t, отримаємо

,

Тобто повертаємось до попередньої форми диференціалу!

Таким чином, форма диференціалу може бути збережена навіть в тому випадку, якщо попередня незалежна змінна замінена новою. Ми завжди маємо право записувати диференціал у формі (3), чи буде x незалежною змінною чи ні; різниця тільки в тому, що якщо за незалежну змінну вибрано t, то dx означає не довільний приріст х, а диференціал x як функції від t. Ця властивість називається інваріантністю форми диференціалу.

Оскільки з формули (3) безпосередньо можна отримати формулу, що виражає похідну через диференціали dx і dy, то і остання формула залишається в силі, за якою б незалежною змінною (однією і тією ж в кожному випадку) не були обчислені вказані диференціали.

Нехай, наприклад, , так що

.

Замінимо тепер . Тоді і ми отримаємо: .

28. Фізичне застосування інтеграла Рімана.

Обчислення статистичних моментів і центра маси матеріальної пластинки. Нехай на координатній площині Oxy задано систему матеріальних точок M1(x1;y1), M2(x2;y2)… Mn(xn;yn), маси яких відповідно дорівнюють m1,m2,…mn. Статичним моментом Kx цієї системи відносно осі Ох називається число . Аналогічно означається статичний момент Ky системи відносно осі Oy: . Точка С (), де та , називається центром маси. Нехай тепер маси не зосереджені в окремих точках, а розміщені суцільно, заповнюючи деяку фігуру площини Oxy. Такі фігури називаються матеріальними пластинками. Розглянемо матеріальну пластинку, що є криволінійною трапецією P(f) , породженою графіком функції f, визначеної, невідємної і неперервної на відрізку [a,b], вздовж якої суцільно розподілено масу m. Для простоти викладу вважатимемо, що матеріальна пластинка є однорідною, тобто поверхнева густина (маса, що припадає на одиницю площі криволінійної трапеції) є сталою. Тоді можна вважати, що =1, тобто маса кожної частинки матеріальної пластинки чисельно збігається яз її площею. Візьмемо довільне Т-розбиття