відрізка [a,b] і криволінійну трапецію P(f) розіб’ємо прямими x=xk, k=1,2,…,n, на частинні криволінійні трапеції. Частинну криволінійну трапецію, що знаходиться між прямими x=xk i x=xk+1 , наближено можна вважати прямокутником, з основою і висотою, що дорівнює f(ck) , де ck - довільна точка частинного відрізка [xk,xk+1], k=0,1,2,…,n-1. Тоді для кожного k=0,1,2,…,n-1 маса mk, розподілена вздовж k-ї частинної трапеції, дорівнює . Масу mk помістимо в точку k=0,1,2,…,n-1 . Дістанемо систему матеріальних точок маси яких відповідно дорівнюють m0, m1, m2,…, mn-1 . Позначивши через Kx(t) і Ky(t) статичні моменти цієї системи відносно осей Ox та Oy відповідно, за означеннями знайдемо ; . Суми і є інтегральними сумами відповідно функцій та f(x)x на відрізку [a,b], складеними для заданого Т-розбиття відрізка [a,b] при заданому виборі точок ck, k=0,1,2,…,n-1. Оскільки функції й неперервні на відрізку, то вони інтегровані на ньому. Тому i . Ці границі називають статичними моментами криволінійної трапеції P(f) відносно осей Ox та Oy і позначають Kx , Ky. Отже, справедливим є таке твердження: статичні моменти Kx і Ky криволінійної трапеції P(f) , породженої графіком функції f, визначеної, невід’ємної і неперервної на відрізку [a,b], обчислюються за формулами: Kx=; .
28. Фізичне застосування інтеграла Рімана
Для матеріальної пластинки масою m і статичними моментами Kx і Ky точка С (), де та , називається центром маси. Легко доводиться таке твердження: координати та центра маси криволінійної трапеції P(f) , описаної в попередньому твердженні, обчислюються за формулами .
Дійсно, маса m криволінійної трапеції чисельно дорівнює її площі . Залишилось скористатися означенням центра маси криволінійної трапеції та формулою Kx=; . . Права частина цієї рівності = об’єму тіла, утвореного обертанням трапеції навколо осі Ох. Її ліва частина = добутку площі S цієї криволінійної трапеції на довжину кола, яке описує при обертанні центр мас трапеції. Отже, доведено таку
теорему: Об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох криволінійної трапеції P(f) , породженою графіком функції f, визначеної, невідємної і неперервної на відрізку [a,b], = добутку площі цієї трапеції на довжину шляху, описуваного при обертанні центром маси цієї трапеції.
33Степеневі ряди.Інтервал і радіус збіжності.Абсолютна,умовна і рівномірна збіжність.
; ,…,,…; ; ; ,то (1)-це . Щоб надати змісту цьому символу,розглянемо дійсне x і фіксуємо його. Якщо при фіксов.
-збігається,то це є [=.
Зберемо ,при яких (1)-збіж. Ця множина іксів назив.областю збіж. (1),тому сума (1) є функцією , яка визначена на тих х, де є збіж. цього ряду.яка ж обл. збіж. Ряду (1)?
(1)-степеневий. Для зручності , тоді ;
Теорема Абеля:Якщо ряд збіг. в точ.,то ряд збіг. в ,які На цьому інтервалі для всіх точ.є збіж. Областю збіж може бути інтервал,вся вісь,або точ. 0.
Доведення. ; Викон.умова збіж. Загальний член ; __має границю,то вона обмежена. Тому для , ,що Запишемо ряд для ,що,тоді Доведено.
Областю збіж може бути інтервал,вся вісь,або точ. 0. R-половина довжини інтервалу,то цн радіус збіжності. R=0; R=+; R-знаходимо за ознакою Коші або Даламбера.
Знаходження радіуса збіж.степ.ряду.Маємо ряд ; -загаль.член ряду.
; Необх.умова ,. З теореми Абеля ,то .
Розгляд. ,то Застос.ознаку Даламбера ; ,тоді (4) і (1) збіж.; =-достатня умова збіж.за ознакою Даламбера. ; Проаналізуємо (6).
1) =0; =. Для викон.(6).
2) =+. Якщо , то (60 не викон. Степ.ряд розбіжний. Збіжний тільки в одній точ. і радіус збіж. R=0. ()==0
33Степеневі ряди.Інтервал і радіус збіжності.Абсолютна,умовна і рівномірна збіжність.
3) =А; ; -радіус збіжності.
-інтервал збіжності. З аналізу 1),2),3) маємо . В кожній точ.інтервалу збіж.ряд (1) збіг.абсолютно.Виникає питання,що робиться на кінцях інтервалу.Накінцях інтервалу можуть бути різні випадки залежно від ряду,їх треба досліджувати окремо.
;
39. Функція комплексної змінної. Границя. Похідна.
Нехай комплексна змінна приймає всеможливі значення із деякої множини , яка геометрично інтерпретується як область в комплексні площині. Якщо з кожним значенням z із області Z співставляється одне або декілька значень другої комплексної змінної , то останню називають функцією від z в області Z і записують або . Якщо є функцією від в області , то її складові u та v теж будуть функціями від z, або що то саме – від x, y в відповідній області : ,
Якщо задана функція комплексної змінної на деякі множині, то це означає, що задані дві функції двох дійсних змінних і навпаки якщо на деякі множині G(x, y) задано дві функції дійсних змінних то на цій множині задана функція комплексної змінної . Графік функції комплексної змінної є поверхня в просторі R.
Нехай функція f(z) визначена в околі точки . Говорять, що функція має своєю границею комплексне число А=a+bi при якщо для як лише для всіх точок z які виконується за винятком точки .
Існування скінченної границі функції f(z) при еквівалентне одночасному існуванню скінченних границь ,
Визначення похідної для функції в точці має вигляд
Формула для обчислення похідної оберненої функції ( ) і всі правила диференціювання переносяться без змін (похідна суми, добутку, складеної функції)
40.Теорема Ейлера - Рімана. Аналітичні функції.
Функція називається аналітичною в точці , якщо вона диференційовна в кожній точці деякого околу точки . Функція, аналітична в точці аналітична в кожній точці деякого околу точки . Тому множина точок аналітичності функції відкрита. Функція