. Аналогічні рівності отримаємо для функції , якщо продиф першу рівність по , а другу по і виразимо другу рівність через першу:. Рівність - рівняння Лапласа, а функції, які мають в деякій області неперервні частинні похідні до другого порядку включно і задовольняють дане рівняння – гармонічні функції.

Теорема.

Кожна гармонічна в однозв’язній області функція служить дійсною(уявною) частиною деякої аналітичної функції в?цій області.

Доведення.

Нехай - гармонічна функція і однозначна в даній області . Покажемо, як знайти аналітичну в даній області функцію , дійсна частина якої співпадає з . Для знаходження уявної частини маємо рівняння Д’Аламбера – Ейлера:

. - неперервні в області і мають в цій області неперервні похідні першого порядку. При цьому виконуються умови: , в силу якої не залежить від шляху інтегрування. має частинні похідні такі ж як функція : . Тому може відрізнятися від тільки на сталу ..Знайшовши за цією формулою, матимемо диференційовані в області функції , які пов’язані рівняннями Д’Аламбера – Ейлера. Звідси випливає, що функція - аналітична в області . Теорема доведена.

44_2. Диф. Р-ня. Диференціальні рівняння І-го порядку.

Рівняння з відокремленими змінними.

Диф. р-ня вигляду (1) , де задані функції залежні відповідно тільки від х і від у називаються рівнянням з відокремленими змінними. Якщо функції є неперервні, то рівняння (1) можна записати у вигляді: . Загальний інтеграл р-ня (1) запишеться: (2) . – будь-яка точка з області задання р-ня (1). Розв’язок р-ня (1), який задовольняє умову запишеться у вигляді (3). У формулі (2) можна не писати межі інтегрування, бо після підстановки нижніх меж інтегрування за формулою Ньютона-Лейбніца отримані числа можна внести в довільну сталу С. – загальний інтеграл р-ня (1). До рівнянь з відокремленими змінними зводяться р-ня з відокремлюваними змінними, тобто р-ня вигляду (4), де – неперервні функції. Для тих (х,у), де поділимо ліву і праву частини р-ня (1) на добуток .

(5) – р-ня з відокремлюваними змінними. Процес переходу від р-ня (4) до р-ня (5) назив. відокремленням змінних. – загальний розв’язок.

При відокремленні змінних ми виконали ділення на , при цьому могли бути втрачені розв’язки y=b, де g(b)=0 і x=a, де . Якщо ці розв’язки не входять у формулу загального розв’язку при жодному значенні С включаючи чи , то вони будуть особливими.

47. Лінійні неоднорідні ДР n-го порядку зі сталими коефіцієнтами.

. (1) Позначимо

. (–характеристичне р-ня, – метод варіації довільних сталих можна побуд. методом Лагранжа). Але в методі Л. для знаходження ф-ї необхідно шукати невизначені інтеграли, які можуть не знайтися. Тому будемо шукати методом невизначених коефіцієнтів(МНК). Але МНК придатний лише для функцій спеціального вигляду, а саме лише для квазімногочленів: , де – многочлен степеня .

1 випадок. Нехай =(2), =, де –дійсне або комплексне число, то: а) = якщо – не корінь хар-го р-ня, 0=.б) = якщо – корінь хар-го р-ня кратності . В обох випадках = (3)– мног. з невизн-ми коеф. Для знаходження невизн. коефіц-в необхідно підставити в р-ня (1) скоротити на і прирівняти коеф. біля однакових степенів. Дов-мо, що при цьому знайдуться однозначно. Підставимо (2) в (1) враховуючи (3): , ()=()=; ()= ()

()=; ()== ( скороч. на і прирівнюємо коеф. коло ).

: ; : ; … – ми отримали с-му з р-ня з невідомими . Оскільки для 1-го випадку – не корінь хар-го р-ня, тобто 0, то з 1-го р-ня однозначно знайдеться / підстав. в 2-ге р-ня з якого однозначно знайдемо ()/ і т. д. Для випадку, коли – корінь хар-го р-ня кратності , =0, але , то =. Покажемо, що в цьому випадку невизначені коефіц. Знайдуться однозначно: ()=; ()==. : і т. д. /, … 2 випадок Нехай =, де – многоч. степеня не вище ніж ,причому один з них степ. , можуть вироджуватися в сталу, в правій частині може бути один доданок. а) – не є корінь хар-го р-ня. Використаємо формули Ейлера ; враховуючи ці формули=. (5)

Теорема. Якщо +, – частин. розв-ок, –ч.р-ок , тоді + ч. р. +. а)= де ±–не є коренем хар. р-ня . б) =() де s-кратність кореня ±. Перейшовши від комплексного розв. до дійсного за формулами () одержимо а) = б) =(). Невизначені коеф. шукаються підстановкою в р-ня.

Зауваження. 1)Структура частинного розв. збережеться, якщо або

2) Якщо =++…+, де – квазімногочлени з різними і , то =++…+.

15. Перша і друга квадратичнa форми поверхні.

Параметризована поверхня – це довільне відображення з деякої області U R2 у трьохвимірний простір R3. Поверхня задана трьома числовими функціями . Якщо ці функції належать до деякого класу гладкості, то вважаємо, що і поверхня належить до цього класу. Надалі вважаємо, що x, y, z, неперервно-диференційовні по u і v. Маємо частинні похідні . Це означає, що для u=u0+u, v=v0+v маємо . Але рівняння при фіксованих . Рівняння параметрично