задає площину, яка проходить через покриття паралельно до і . Зокрема, рівність визначає площину, що проходить через точку поверхні паралельно до і . Отже, поверхня відхиляється від цієї площини на безмежно малу величину, меншу ніж першого порядку малості. Отже, ця площина є дотичною. Вивчимо відстань d між точками та , де u=u0+u, v=v0+v - безмежно малі. Але
+ . Вираз називають першою квадратичною формою і є наближеним значенням квадрата переміщення по поверхні при малій змінній параметра з точністю до малих порядку вищого, ніж другий. Кажуть, що перша квадратична форма визначає метрику на поверхні. З її допомогою можна знайти довжину будь-якої кривої на поверхні. Нехай в області U маємо криву u=u(t), v=v(t), atb. Якщо підставити цю криву у функцію , яка визначає поверхню, то отримаємо криву по поверхні. Тоді довжина кривої рівна: . Також можна обчислити площу поверхні: .
Друга квадратична форма
Поверхню можна наблизити точніше, якщо крім членів першого порядку використати член другого порядку – формула Тейлора. Визначимо відхилення точки поверхні від дотичної площини. Для цього оберемо нормальний вектор , . .
+.
Отже, з точністю до нескінченно малих другого порядку відхилення точки від дотичної площини рівне - друга квадратична форма. Оскільки перша кв. форма є наближеним значенням квадрата відстані, вона є додатньовизначеною, тому . Рівність може досягатись тільки в точках де порушується гладкість поверхні (в особливих точках). Друга кв. форма не обов’язково є знаковизначеною і може мати різні властивості залежно від розташування поверхні відносно дотичної площини.
16. Формули Френе для просторових кривих.
Гладкою параметризованою кривою називаємо неперервно-диференційовне відображення з дійсної прямої або її проміжка у R2(плоска крива) та R3(просторова крива). Крива задається двома або трьома числовими функціями, наприклад, r(t)=(x(t),y(t),z(t)). Дві параметризовані криві і називаємо еквівалентними і пишемо . Якщо існує зростаюча в обидва боки бієкція (заміна координат), для якої r(t)=((t)) для всіх t[a,b]. Клас еквівалентних між собою параметризованих кривих називаємо кривою …
Зрозуміло, що заміна координат має бути такого самого порядку гладкості, як і дана крива. Параметризацію кривої називаємо натуральною, якщо для неї швидкість руху точки по кривій. (r(t) має одиничну довжину). Надалі вважаємо параметр натуральним і вважаємо .
Лема. Якщо для вектор-функції маємо , то для кожного t, f(t)f(t).
Доведення: . що для натурального параметра . Позначимо - орт вектора , а k – довжину . Тоді -перша формула Френе. Вектор називаємо нормальним. Доповнимо і третім перпендикулярним до них вектором – бінормальним . , тоді Знайдемо похідну від , оскільки то . Звідси лежить в площині, паралельній до і =+. Оскільки =0=const, то ()=0 = –k. Позначимо =ж і назвемо k-кривизна, ж-скрут. Тоді =-k+ ж - друга формула Френе. Знайдемо похідну від . ж)=ж-ж.
-ж - третя формула Френе. . Вектори , і утворюють базис простору і називаються натуральним тригранником. Це рухома ортогональна база, яка повзає по нашій кривій.