Лінії другого порядку: еліпс, гіпербола, парабола. Їх основні властивості та зображення.
Алгебраїчне рівняння задає на площині якусь лінію. Наприклад: , Загальне р-ня лінії 2-го порядку:
Еліпс
Еліпсом назив. множина всіх точок площини, сума відстаней від яких до двох фіксованих точок є величина стала. Розгл. на мн. 2 точки, відстань між якими .
, - стала, , -?, - координати точок–
канонічне рівняння еліпса (1)
Властивості
1)Лінія симетрична відносно координатних осей і поч. координат.
2)Всі точки еліпса лежать в прямокутнику:
3) Точки перетину з осями
Ці точки називають вершинами еліпса.
4) В першій чверті з (1): . Це означає, що
у I-й чверті графік спадає.
- параметричне р-ня еліпса.
. .
Гіпербола
Гіперболою називається множина всіх точок площини різниця відстаней від яких до двох фіксованих точок є величина стала
На площині розглядають точки на відстані . , . .
Властивості
Лінія симетрична відносно координатних осей і початку координат
В смужці –a<x<a точок лінії немає
3. Лінії другого порядку: еліпс, гіпербола, парабола
- вісь y не перетинає; y=0 , – вершини гіперболи
- 2–і асимптоти гіперболи, . Якщо . –директриси гіперболи. Якщо то - рівностороння гіпербола ()
Парабола
Парабола – це множина усіх точок на площині, рівновіддалених від даної точки і прямої.
- директриса.–
канонічне р-ня параболи
Властивості
Симетрична відносно Ох.
(0; 0) – єдина точка перетину з осями – вершина параболи, асимптот немає
– ексцентриситет параболи
4. Зведення р-ня кривої другого порядку до канонічного вигляду. Афінна
класифікація кривих 2-го порядку
Спрощення рівнянь центральних ліній ІІ порядку за допомогою інваріантів.
До типу центральних ліній ІІ порядку належать еліпс, гіпербола і пара прямих, що перетинаються. Центр лінії в останньому випадку є точка перетину цих прямих. Коли задана лінія центральна то, щоб звести її р-ня до канонічного вигляду, спочатку, незміюючи напряму осей координат базису, перенесемо його початок в центр лінії. При цьому в р-ні зникають члени першого порядку відносно змінних. Далі повернемо координатний базис так, щоб його осі сумістилися з головними діаметрами, тобто осями симетрії лінії. Після цього перетворення в р-ні зникне член з добутком змінних, тобто р-ня стане канонічним. Але на практиці недоцільно щоразу виконувати всі ці перетворення. Канонічне р-ня лінії можна дістати обчисленням його коефіцієнтів за допомогою інваріантів. Справді, канонічне р-ня центральної лінії ІІ порядку має три члени:
(або два у випадку пари прямих).
Коефіцієнти і при квадратах змінних в р-ні лінії ІІ порядку дорівнюють розвязкам його характеристичного р-ня
, а вільний член за формулою .
Отже розв’язавши характеристичне р-ня і визначивши вільний член , ми відразу можемо написати канонічне р-ня центральної лінії Коли , тобто коли лінія ІІ порядку не вироджена, легко визначити її параметри . Справді, . Отже, форма і розміри лінії відомі. Щоб знайти положення лінії і накреслити її, треба визначити координати центра і скласти р-ня осей симетрії. Для гіперболічного треба ще скласти р-ня її асимптот.
Класифікація лінії ІІ порядку.
Розглянемо рівняння 2-го порядку:
із варіантами: (1)
Повернемо с-му корд. на кут , щоб осі набули головних напрямків
(2)
. У р-ні (1) пропаде . Для (1) і (2) виписуємо матрицю і визначник
,
(3)
I. Розглянемо , ()
А) лінія невироджена,
) - одного знаку; - протилежного–еліпс
4. Зведення р-ня кривої другого п-ку до канонічного вигляду.Афінна класифікація кривих 2-го по-ку
, - одного знаку – уявний еліпс
- різних знаків – гіпербола
Б)
- різних знаків – дві прямі, що перетинаються
- одного знаку – дві уявні прямі, що перетинаються у дійсній площині
ІІ.
С)
дві паралельні прямі
дві прямі, що співпадають
дві уявні паралельні прямі
Д)
Перенесемо поч. коорд у вершину параболи
6. Метричні, псевдометричні, ультраметричні простори. Приклади.
Метрикою на множині X називається довільна функція двох аргументів d: XX>R, для якої виконано умови:
1) для довільних x,y є X: d(x,y)?0 – невід’ємність;
2) для довільних x,y є X: d(x,y)=0 тоді і тільки тоді, коли x=y – невиродженість;
3) для довільних x,y є X: d(x,y)=d(y,x) – симетричність;
4) для довільних x,y,z є X: d(x,z)?d(x,y)+d(y,z) – нерівність трикутника;
Пара (X,d), де X–довільна множина, а d–метрика на X, називається метричним простором. Значення d(x,y) називають відстанню між точками x та y.
Найважливішим метричним простором є множина дійсних чисел R з метрикою, заданою як d(x,y)=|x-y|. Ця ж формула задає стандартну відстань і між елементами N,Z,Q,C.. Формула
d((x1,x2,…,xn),(y1,y2,…,yn))= задається відстань, яку наз стандартною,між точками (x1,x2,…,xn) та (y1,y2,…,yn)множини Nn, Zn, Qn, Cn.
На довільній множині X можна задати просту метрику, названу дискретною:
d(x,y)=
Для цієї метрики нерівність трикутника 4) виконана у сильнішому вигляді:
4’) для довільних x,y,z є X: d(x,z)?max{d(x,y), d(y,z)}.
Очевидно, при 1) з 4’) випливає 4).Функція d: XxX>R, для якої виконано 1), 2), 3), 4’), називається ультраметрикою, а пара (X,d) – ультраметричним простором.
Приклад ультраметрики – функція на XX, де X=X1X2…Xn, задана для x=(x1,x2,…,xn), y=(y1,y2,…,yn) так:
d(x,y)=
k=inf{i|xi?yi}.
Якщо ж для d: XX>R виконано 1),3),4) та слабшу умову твердження 2):
2`) для довільного х є X: d(x,x)=0;
то d називають псевдометрикою, а множину X з заданою псевдометрикою –псевдометричним простором. Тривіальний приклад псевдометрики, яка не є метрикою–нульова функція d(x,y)?0.
На добутку X1xX2x…xXn (псевдо)метричних просторів(X1,d1), (X2,d2),…,(Xn,dn), (псевдо)метрику можна задати кількома способами, наприклад:
((x1,x2,…,xn),(y1,y2,…,yn))=(d1(x1,y1)p+d2(x2,y2)p+…+dn(xn,yn)p)1/p для довільного p>1,а також ((x1,x2,…,xn),(y1,y2,…,yn))=max{d1(x1,y1),d2(x2,y2),…,dn(xn,yn)}
Ці формули узагальнюють метрики на Rn.
7. Границя послідовності в метричному просторі. Повнота і поповнення
метричного простору.
Числова послідовність називається безмежно малою, якщо для довільного існує таке , що для всіх .
Озн1. Послідовність точок метричного простору збігається до точки , якщо числова послідовність , є безмежно малою.
Озн2. Послідовність точок метричного