Озн3. Послідовність точок метричного простору збігається до точки , якщо для кожного всі члени , починаючи з певного моменту, містяться в кулі .

Тоді точка називається границею послідовності , що записуємо або Послідовність, яка має границю називається збіжною.

Озн4. Послідовність називається фундаментальною, якщо для кожного існує таке , що для всіх маємо

Озн5. Простір, в якому кожна фундаментальна послідовність має границю називається повним.

Тв-ння. Якщо підпростір метричного простору повний, то замкнений в .

Тв-ння. Замкнений підпростір повного метричного простору теж є повним.

Озн6. Поповненням метричного простору називається довільний повний метричний простір в який ізометрично вкладається як скрізь щільна множина.

Озн7. Якщо відображення зберігає відстані, ін’єктивне, і простір ізометричний образу , то називають ізометричним вкладенням і кажуть, що ізометрично вкладає простір у вигляді підмножини в простір

Теорема.(Ф.Гаусдорф). Для кожного метричного простору існує поповнення .

Доведення. Побудуємо поповнення . Нехай -множина всіх фундаментальних послідовностей в, - псевдометрика на . При маємо Отже, на множині класів еквівалентності, які називають пучками, можна задати метрику Покажемо, що -шукане поповнення простору .

Нехай -фундаментальна пос-сть пучків-елементів . Кожен є класом еквів-сті деякої фундаментальної пос-сті в . За озн. фундаментальності для кожного , що вик-ся Утворимо пос-сть Тоді для кожного за нерівністю трикутника При маємо то, спрямовуючи отримаємо Звідси випливає, що послідовність теж є фундаментальною, і, отже, належить . Її клас еквівалентності є границею . Отже, -повний.

Ізометричне вкладення задається так: ,тобто відображається в єдиний пучок, який містить сталу послідовність з членами, рівними . Для довільного елемента , де збігається послідовність звідки образ скрізь щільний в . Доведено.

8.Точки дотику множини в метричному та топологічному просторі. Замкнені множини та замикання множини.

Означення. Точка називається точкою дотику множини в метричному просторі , якщо послідовність в , збіжна в до .

Твердження. Точка є точкою дотику множини в метричному просторі тоді і тільки тоді, коли в кожній кулі з центром міститься деякий елемент множини .

Доведення. Якщо є точкою дотику і - послідовність точок , збіжна до , то для кожного за означенням збіжності всі члени , починаючи з деякого моменту, лежать в . І навпаки, якщо в кожній куліз центром міститься деякий елемент множини , то позначимо довільний елемент , який лежить в . Тоді послідовність збігається до . Доведено.

Кожна точка множини є точкою дотику для . Якщо кожна точка дотику множини належить , то називається замкненою в множиною.

Твердження. Множина в метричному просторі є замкненою тоді і тільки тоді, коли границя кожної збіжної послідовності точок з належить .

Твердження. В кожному метричному просторі :

порожня множина та є замкненими множинами;

об’єднання кожних двох замкнених множин і є замкненим;

перетин довільної сім’ї замкнених в множин є замкненим.

Твердження. Множина всіх точок дотику довільної множини в метричному просторі є найменшою з замкнених в множин, які містять .

Цю множину називають замиканням множини в і позначають або .

Точку в топологічному просторі називають точкою дотику множини , якщо в кожному околі міститься точка .

Твердження. Множина є замкненою в топологічному просторі тоді і тільки тоді, коли містить всі свої точки дотику.

Доведення. Для довільної множини і точки можливе одне з двох: або внутрішня точка для , або -точка дотику для . Отже, - замкнена -відкрита всі точки внутрішні в ніяка точка дотику не лежить поза . Доведено.

Множину всіх точок дотику в називають замиканням множини і позначають або .

В топологічному просторі справедливе аналогічне твердження, що - найменша серед замкнених множин, які містять .

Відповідність, яка кожній множині топологічного простору співставляє її замикання , називається оператором замикання на . Оператор замикання має такі властивості:

1) ;

2) для кожного виконується ;

3) для кожного виконується ;

4) для довільних виконується

9. Внутрішні точки множини в метричному та топологічному просторі.

Відкриті множини і внутрішність множини. Межа множини.

Нехайдовільний метричний простір.Точка х називається внутрішньою точкою множини А в метричному просторі, якщо деяка куля міститься в А. Тоді ясно, що . Множина в метричному просторі називається відкритою в , якщо кожна її точка є внутрішньою.

Можна дати рівносильне означення: Множина в метричному просторі називається відкритою, якщо доповнення до неї є замкненим.(Множина наз. замкненою в , якщо вона містить всі свої точки дотику.)

З нерівності трикутника що кожна куля в є відкритою, а замкнена куляє замкненою множиною. Дійсно, якщо, то і для з ,. Отже і кожна точка є внутрішньою, тобто є відкритою. Доведення для аналогічне.

Твердження В кожному метричному просторі :1)є відкритими множинами.

2)перетин кожних двох відкритих множин є відкритим.

3)об’єднання довільної сімї F відкритих в множин є відкритим.

Доведення 1) із означення відкритої множини.Якщо в пункті 2) точка належить то вона є внутрішньою для , і існують кулі . Тоді куля , лежить в , і є внутрішньою і для ,–відкрита. 3)Якщосімї відкритих множин, то для деякої , звідки і кожна точка є внутрішньою.

З тверд.що перетин скінченної кількості відкритих множин є відкритою множиною.

Твердження Множина всіх внутрішніх точок довільної множини А в є найбільшою з відкритих в множин, які містяться в А.

Цю множину наз внутрішністю множини А в і познач.. Різницю , тобто множину точок, які є точками дотику для А, але не є внутрішніми в А, наз. межею множини А і позн. або. Межа