Пара, деХ–множина,–топологія на Х наз топологічним простором. Околом точки х в топологічному просторі Х наз відкриту в Х мн-жину, яка містить х. Точку х наз внутрішньою в мн-жині А, якщо вона лежить в А разом з деяким своїм околом.

Твердження Множина А є відкритою в топологічному просторі Х тоді і тільки тоді,коли кожна точка є внутрішньою в А.

Доведення Якщо А відкрита в Х, то вона і є околом кожної точки,який міститься вА Отже, всі точки А є внутрішніми. Якщо всі точки А– внутрішні,то обєднання околів, які лежать в А, для всіх точок , рівне А, звідки А – відкрита.

Твердження Нехай В – база .Точка є внутрішньою в множині А тоді і тільки тоді, коли в А міститься деякий окіл, який належить В.

Для топологічного простору означення внутрішності та межі множини повторюються.

10.Неперервні відображення метричних просторів. Рівносильність означень

за Гейне та за Коші

Пара,де Х–довільна множина,а –метрика на Х,називається метричним простором Відображення метричних просторів, яке зберігає відстані, має властивість-неперервність.

Озн (за Гейне) Відображення метричних просторів називається неперервним в точці , якщо для довільної послідовності вХ, яка збігається до точки , послідовність збігається до в .

Іншими словами, неперервне в точці , коли при послідовному наближенні до значеня теж збігається до . Відображення, яке не є неперервним в точці , назив розривним в цій точці.

Озн Відображення метричних просторів називається неперервним, якщо воно є неперервним в кожній точці .

Для неперервності збереження відстаней не є обовязковим. .Достатньо,щоб вик:

.Таке відображення назив нерозтягуючим. Якщо нерозтягуюче і , то ,звідки, отже, неперервне в кожній точці.

Озн (за Коші) Відображення метричних просторів називається неперервним в точці ,якщо для довільного таке ,що для всіх , для яких , вик .

Використовуючи поняття кулі це озн можна сформулювати так: ОЗН: Відображення метричних просторів називається неперервним в точці , якщо для довільної кулі в з центром в існує куля в Х з центром в , образ якої міститься в . Інакше кажучи, неперервне в , якщо образи точок, достатньо близьких до , є близькими до . Це означення наз означенням неперервності за Коші або мовою , а попереднє– за Гейне або мовою послідовностей.

Твердження Довільне відображення метричних просторів неперервне в деякій точці за Гейне тоді і тільки тоді, коли воно неперервне в за Коші.

Доведення Нехай неперервне в точці за Гейне. Припустимо,що не є неперервним в за Коші. Тоді для деякого в кожній кулі , , міститься , для якого . Позначимо ту точку з , образ якої не лежить в , як . Оскільки , то при , але , тому не прямує до і не є неперервним в за Гейне – отримано суперечність.

Нехай тепер неперервне в точці за Коші, і послідовність прямує до . Для кожного таке, що з випливає . За означенням границі послідовності для цього таке, що для всіх маємо . Отже, для всіх : і послідовність прямує до .Отже, –неперервне

в точці за Гейне.

Озн Відображення метричних просторів називається рівномірно неперервним, якщо для довільного таке в Х, що для всіх , для яких , вик .

Видно, що з рівномірної неперервності випливає неперервність.

11. Поняття топології і способи її задання: метрика, база, передбаза.

Топологією на множині Х наз. довільна сім’я її підмножин, для якої виконано умови: 1) множини та Х належать до ; 2) для довільних перетин ; 3) для кожної сім’ї об’єднання її елементів належить до .

Пару (Х, ), де Х – множина, – топологія на Х, наз. топологічним простором. Елементи наз. відкритими множинами в просторі (Х, ). Доповнення до відкритих множин наз. замкненими множинами в топології .

Твердження. Множини в (псевдо)метричному просторі (Х,d), відкриті відносно (псевдо)метрики d, утворюють деяку топологію Множини, замкнені відносно d, збігаються з множинами, замкненими в .

Отже, один з способів отримати топологію на множині Х – обрати на Х (псевдо)метрику d та утворити сім’ю з усіх множин, відкритих відносно d. Кажемо, що топологія породжується (псевдо)метрикою d.

Простий спосіб утворити топологію на множині Х полягає у тому, щоб включити в всі підмножини в Х, оголосивши всі множини відкритими. Така топологія наз. дискретною топологією на Х.

Якщо і – топології на Х, і , то наз. меншою або слабшою, – більшою або сильнішою. Дискретна топологія є найсильнішою з топологій на Х. Інша крайність – антидискретна топологія , яка за означенням топології міститься в кожній топології на Х, і, отже, є найслабшою. Оскільки в метричному просторі кожна точка є замкненою множиною, що не виконується для антидискретної топології, то ця топологія не може бути заданою метрикою, але породжується нульовою псевдометрикою.

Сім’я В підмножин топологічного простору (Х, ) наз. його базою або базою топології, якщо всі елементи В відкриті (тобто ), і відкрита кожна множина є об’єднанням деякої сім’ї F елементів В.

Твердження. Сім’я В підмножин множини Х є базою топології на Х тоді і тільки тоді, коли , і для кожної точки х довільної відкритої множини існує , для якого.

Отже, кулі утворюють базу топології, породженої метрикою. Кожна топологія є (тривіальною) базою для себе. Всі відкриті інтервали (a,b), a<b, утворюють базу стандартної топології на R.

Сім’я множин Р наз. передбазою топології , якщо всі скінченні