Твердження. Нехай сім’я замкнених підмножин множини Х задовольняє умови:

1) множини та Х належать до ;

2) для довільних F,G об’єднання FG;

3) для кожної сім’ї перетин її елементів .

Тоді сім’я всіх доповнень X\F до елементів F є топологією на Х.

Доведення. Застосовуємо формули FGFG, FF.

12.Аксіоми відокремленості.Гаусдорфові, регулярні та нормальні простори.

Аксіома . Для кожних точок , , існує відкрита множина U, для якої , або . Х

х у U

Аксіома .Для кожних точок , , існує відкрита множина U, для якої , Тоді і для у існує така відкрита множина V, що .

Х З , але з не випливає .

х U V у

Аксіома . Для кожних точок , , існують відкриті множини U і V, для яких і .

Х З випливає , але не навпаки

х у Топологічні простори, в яких виконано , наз. гаусдорфовими.

U V Околом множини А в топологічному просторі Х наз. будь-яку

Відкриту множину , яка містить А.

Аксіома . Для кожної точки , яка не належить замкненій множині , існують відкриті множини U та V, для яких і .

Х Дійсно, нехай топологія на Х задається метрикою d, і точка х

не належить замкненій в Х множині F. Доповнення Х\F

х U V F відкрите і містить х, отже, існує куля . Куля

та об’єднання відкриті неперетинні

і містять відповідно х і F.

Аксіому можна сформулювати інакше: для кожного околу U довільної точки існує окіл , для якого .

Твердження. З аксіом і випливає .

Дов. Нехай в Х виконано і , і – довільні точки Х. Принаймні для однієї з них, наприклад, для х, існує окіл , для якого . Множина замкнена і не містить х, отже, існують відкриті неперетинні , . Тоді , , , тобто виконано .

Топологічний простір Х, в якому виконано і (а, отже, та ), наз. регулярним. Не всі гаусдорфові простори є регулярними.

Аксіома . Для довільних замкнених множин , які не перетинаються, існують неперетинні відкриті множини та .

Х Аксіому можна сформулювати іншим способом: для кожного

околу U довільної замкненої множини існує окіл ,

F G для якого .

U V Приклад анти дискретного простору доводить, що з не

випливає , чи . Якщо ж в топологічному просторі Х виконано та (а тоді й , , ), то Х наз. нормальним простором. Всі метризовані простори є нормальними

14. Неперервні відображення топологічних просторів.

Озн. Відображення топологічного простору в топол. простір назив. неперервним в точці , якщо для кожного околу існує окіл , для якого . Відображеня, яке не є неперервним в точці називається розривним в ній.

Твердж. Якщо топології і на та породжені деякими метриками і , то відображення неперервне в т. відносно і т. і т. тоді, коли неперервне в відносно і .

Озн. Відображення топологічного простору в топологічний простір назив. неперервним, якщо воно є неперервним в кожній точці .

Озн. Відображення топологічного простору в топологічний простір назив. неперервним, якщо прообраз кожної відкритої множини є відкритим в .

Твердж. Відображення топологічних просторів є неперервним т. і т. тоді, коли виконано з рівносильних тверджень:

1) прообраз кожної замкненої множини замкнений в ;

2)для кожної множини виконано .

Довед. Те, що перше твердження рівносильне неперервності, випливає з того, що . Доведемо, що з першого твердження випливає друге, а з другого – неперервність. Нехай неперервне, і – довільна множина в . Оскільки , то міститься в прообразі замкненої множини , який є теж замкненим. Отже, й замикання міститься в цьому прообразі, тому . Якщо ж включення виконано для кожної , то оберемо довільну точку , окіл та покладемо . Оскільки , то точка не належить до . Згідно точка не належить . Отже, –окіл, який містить , не містить точок з і тому відображення в . Таким чином, відображення неперервне в кожній точці . ?

Твердж. Нехай –відображення топологічних просторів, і в обрано передбазу . Тоді неперервне т. і т. тоді, коли прообрази при всіх елементів відкриті.

Довед. Оскільки всі елементи відкриті, то з неперервності випливає, що їх прообрази теж є відкритими. Якщо ж відкриті всі прообрази елементів , то для довільних проораз теж відкритий. Оскільки елементи вигляду , , утворюють базу в , а кожна відкрита множина є об’єднанням сім’ї елементів , , то – теж відкрита множина.

Твердж. та – відображення топологічних просторів. Тоді: 1) Якщо неперервне в точці , а –в точці , то композиція неперервна в . 2) Якщо та неперервні, то композиція теж неперервна.

Твердж. Якщо –неперервне відображення топологічних просторів, і та – підпростори, для яких , то обмеження відображення теж є неперервним.

Довед. Кожна відкрита множина має вигляд , де – відкрита в . Тоді – за неперервністю і означення топології підпростору відкрита в . ?

13. Різновиди зв’язності та співвідношення між ними.

Підмножини і топологічного простору відокремлені, якщо ніяка з них не містить точок дотику іншої, тобто , .

Лема. Нехай – підпростір топологічного простору , і . Тоді (де та – замикання відповідно