Довед. Якщо є точкою дотику в , а – довільний окіл в просторі , то в окілі точки в просторі , а тим більше в міститься деяка , отже, – точка дотику в . Якщо ж – точка дотику в просторі , то кожен окіл в має вигляд , де – окіл в . За припущенням в міститься деяка . Оскільки , то , звідки –точка дотику в .

Твердж. Нехай множини і лежать в довільному підпросторі деякого простору . Тоді і відокремлені в т. і т. тоді, коли вони відокремлені в .

Довед. Згідно попередньої леми довільна точка однієї з множин і є точкою дотику іншої множини в т. і т. тоді, коли вона є точкою дотику в . Звідси випливає, що і відокремлені в т. і т. тоді, коли вони відокремлені в .

Озн. Множина в топологічному просторі назив. зв’язною, якщо не можна отримати як диз’юнктне об’єднання двох відокремлених в непорожніх множин і . Зокрема, топологічний простір називається зв’язним, якщо він є зв’язною множиною у собі (його не можна розбивати на дві непорожні відокремлені підмножини і ). Якщо ж таке подання можливе, множину назив. незв’язною.

Твердж. Множина в топологічному просторі є зв’язною т. і т. тоді, коли є зв’язним простором в топології підпростору в .

Довед. Нехай розбито на неперетинні непорожні множини і . Тоді і відокремлені в т. і т. тоді, коли вони відокремлені в . Отже, незв’язність множини в рівносильна незв’язності підпростору .

Твердж. Топологічний простір зв’язний т. і т. тоді, коли виконано будь-яке з рівносильних тверджень: 1) простір не можна зобразити у вигляді диз’юнктного об’єднання двох непорожніх замкнених множин; 2) простір не можна зобразити у вигляді диз’юнктного об’єднання двох непорожніх відкритих множин; 3) єдиними відкрито-замкненими множинами (тобто одночасно відкритими і замкненими) множинами в є і .

Довед. Доведемо, що заперечення будь-якого з цих тверджень рівносильне незв’язності. Якщо незв’язний, і B, де і – непорожні і відокремлені, то , звідки – замкнена. Аналогічно замкнена і , тото виконано заперечення першого твердження. Якщо B, де і – непорожні і замкнені, то множина і одночасно є відкритими. Якщо B, де і –непорожні і відкриті, то множина – відкрито замкнена, , , то – теж непорожня, і та відокремлені, звідки – незв’язний.

Твердж. Простір зв’язний т. і т. тоді, коли єдиними в множинами з порожньою межею є і .

Твердж. Множина з стандартною топологією є зв’язною.

Довед. Припустимо протилежне. Нехай є об’єднанням не порожніх диз’юнктних замкнених множин і . Будемо вважати, що існують , , для яких . Множина не порожня і обмежена згори. Згідно аксіом множини дійсних чисел ця множина має точну верхню грань . За побудовою в кожному проміжку міститься елемент з , а в кожному проміжку – елемент з . Отже, – спільна точка дотику диз’юнктних множин і , і вони не можуть одночасно бути замкненими.

Наслідок. Одиничний відрізок з стандартною топологією є зв’язним.

Твердж. Топологічний добуток та букет довільної сім’ї не порожніх просторів є зв’язним т. і т. тоді, коли всі ці простори зв’язні.

Твердж. Неперервний образ зв’язного простору , тобто простір , на який існує неперервне відображення з зв’язного простору, є зв’язним.

Довед. Припустимо, що в існує не порожня відкрито-замкнена множина . За властивостями неперервних відображень її прообраз теж є відкрито-замкненим, а за сюр’єктивністю він є непорожнім і не рівним . Отже, незв’язний, що суперечить умові.

Твердж. Довільне об’єднання сім’ї , зв’язних множин простору , які мають спільну точку , є зв’язним.

Довед. Припустимо протилежне. Тоді підпростір є незв’язним в індукованій топології і зображається як диз’юнктне об’єднання не порожніх відкрито-замкнених в множин і . Принаймні одна з них, наприклад, містить . Оскільки кожен з є підпростором , всі перетини є відкрито-замкнені в і непорожні (оскільки містять ). Зі зв’язності всіх випливає, що , тобто для всіх . Звідси , і , , що суперечить припущенню.

Твердж. Якщо кожні дві точки множини топологічного простору лежать у зв’язній підмножині , то множина – зв’язна.

Якщо для довільної точки об’єднати всі зв’язні множини, які містять , то отримаємо найбільшу в зв’язну множину серед тих, які містять . Вона назив. компонентою зв’язності або компонентою точки .

Твердж. Замикання зв’язної множини простору є зв’язним.

Довед. Нехай є об’єднанням не порожніх диз’юнктних замкнених в множин і . Тоді їх сліди і є диз’юнктними і замкненими в , звідки за зв’язністю один з них, скажімо, , рівний . Отже, лежить в замкненій в множині , і в немає точок дотику . Але за умовою, , звідки – суперечність.

Озн. Простір назив. локально зв’язним, якщо в кожному околі довільної точки міститься зв’язна множина , для якої .

Твердж. Компонента зв’язності кожної точки локально зв’язного простору у довільному околі є відкритою.

Довед. Нехай – згадана компонента точки . За означенням локальної зв’язності для довільної точки існує така зв’язна множина , . Тоді – теж зв’язна, містить і лежить в , звідки за максимальністю маємо . Тому , і кожна точка є внутрішньою, тобто – відкрита.

Наслідок. Компоненти зв’язності локально зв’язного простору є відкритими.

Озн. Кривою (параметризованою кривою) в топологічному просторі з початком та кінцем назив. довільне неперервне відображення з одиничного відрізка