Твердж. Лінійно зв’язна множина є зв’язною.

Довед. Носій кожної кривої є зв’язним як неперервний образ зв’язного відрізка . Оберемо довільну точку . З кожною точкою її з’єднує крива. Отже, – об’єднання зв’язних носіїв кривих з спільним початком , яке є зв’язним.

Клас еквівалентності точки , тобто точки, які можна сполучити з кривими, називається компонентою лінійної зв’язності точки .

Простір називається локально лінійно зв’язним, якщо в кожному околі точки міститься лінійно зв’язна множина , для якої .

Твердж. Компонентою лінійної зв’язності кожної точки локально лінійно зв’язного простору у довільному околі є відкритою.

Довед. Якщо точка лежить в компоненті лінійної зв’язності довільної точки в околі , то існує множина , з усіма точками якої можна сполучити кривими, які лежать в , і . Отже, кожну точку можна сполучити з кривою в межах , і . звідси , кожна точка є внутрішньою, і – відкрита.

Наслідок. Компоненти лінійної зв’язності локально лінійно зв’язного простору є відкритими.

Твердж. Для топологічного простору рівносильними є твердження: 1) в кожному околі довільної точки міститься лінійно зв’язна множина , для якої ; 2) в кожному околі довільної точки міститься лінійно зв’язний окіл точки ; 3) в кожному околі довільної точки міститься окіл точки , з кожною точкою якого можна сполучити кривою, яка лежить в .

Довед. (12) згідно останнього твердження за можемо взяти компоненту лінійної зв’язності точки в околі . (23) Очевидно, оскільки у випадку (2) ця крива лежатиме навіть у . (31) Твердження (3) означає, що компонента лінійної зв’язності точки в околі містить окіл . Тоді задовольняє вимоги (1).

Твердж. Зв’язний локально лінійно зв’язний простір є лінійно зв’язним.

Довед. Компонента лінійної зв’язності довільної точки відкрита. Об’єднання інших компонент лінійної зв’язності теж відкрите, отже, рівне об’єднанню диз’юнктних відкритих множин і . Оскільки за умовою зв’язний, а , то . Отже, – лінійно зв’язний.

Поверхні другого порядку

Прикладами поверхонь другого порядкує такі:

1) -еліпсоїд,

2)-однопорожнинний гіперболоїд,

3)-двопорожнинний гіперболоїд,

4) -конус,

5) -еліптичний параболоїд,

6) -гіперболічний параболоїд,

7) -еліптичний циліндр,

8)-гіперболічний циліндр,

9) y2=2px-параболічний циліндр.

Еліпсоїд. Властивості.

1)Поверхня симетрична відносно координатних осей, координатних площин, початку координат.

2)Всі точки еліпса розташовуються всередині паралелепіпеда, що характеризується системою:

3) Перетин з осями

z: x=0, y=0, z=+-c

x: y=0, z=0, x=+-a

y: x=0, z=0, y=+-b

3) Перетин поверхні з площинами

Аналогічно в площині хОz і yOz.

Еліпсоїди обертання відповідно з осями z,x,y.

Одно порожнинний гіперболоїд. Властивості.

1)Поверхня симетрична відносно координатних осей, координатних площин, початку координат.

2) Перетин з осями

x=0, y=0, -

y=0, z=0, x=+-a

x=0, z=0, y=+-b

3) Перетин поверхні з площинами

Еліптичний параболоїд. Властивості.

1) Симетричний поверхні відносно площин хОz, yOz, осі z.

2) z?0

3) (0;0;0)-єдина точка перетину поверхні з осями

4) -параболи однієї форми, вітки повернуті вгору, вершина піднімається при зростанні .

Аналогічно y=p.

Конус. Властивості.

1) Поверхня симетрична відносно координатних осей, координатних площин, початку координат.

2) (0;0;0)-єдина точка перетину з осями

3)-гіпербола, при ; при p=0-дві прямі.

4)- еліпси, півосі зростають, при зростанні .

2 .Пряма на площині. Площина і пряма в просторі. Взаємне розміщення площин, прямих і площин в просторі.

Нехай пряма (на площині чи в просторі) проходить через задану точку паралельно заданому ненульовому в-ру , який наз. напрямним в-ром прямої. Точка і її напрямний ве-р цілком визначають пряму, паралельно в-ру . Складемо р-ня цієї прямої. Позначимо через довільну точку прямої і розглянемо радіуси-вектори та точок та і в-р , що лежить на даній прямій. Оскільки в-ри = і колінеарні, то =, звідки (1)–векторне параметричне р-ня прямої. Якщо пряма задається т. та напрямним в-ром , то, прирівнюючи відповідні координати векторів та за ф-лою (1), маємо: –параметричні р-ня прямої, звідки канонічне рня. Якщо пряма не , то р-ня (3) можна записати: або . Позначимо , тоді (4)–р-ня прямої, яка проходить через задану точку і має заданий кутовий коефіцієнт.(5)–р-ня прямої з кутовим коефіцієнтом. Рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки , дістанемо з р-ня прямої, що проходить через точку і має напрямний вектор (6). Якщо пряма проходить через точки , тобто відтинає на осях відрізки та , то (7)–р-ня прямої у відрізках на осях. Розглянемо р-ня прямої, яка проходить через задану точку перпендикулярно до заданого ненульового вектора нормальний в-р прямої. (8)–р-ня прямої, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданого в-ра. Загальне р-ня прямої . Це р-ня I-го степеня. Чи всяке р-ня (*) задає пряму? Нехай – розв’язок р-ня (*).. (*)–(**). Нехай ||, де – деяка пряма(). Отримаємо колінеарні. пряма проходить через початок координат; вісь ; вісь ; отже ; отже .

Кут між двома прямими. а) Нехай прямі задано канонічними рівняннями: і –кут між цими прямими, .Оскільки в-ри і є напрямними в-рами даних прямих і , тоді маємо

(1). Якщо ||, то ||, тому їх координати пропорційні, тобто –умова паралельності двох прямих. Якщо , то і їхній скалярний добуток = нулю, отже, умова перпендикулярності двох прямих. б) Нехай прямі задано загальними р-ми: , тоді кут між ними = куту між їхніми нормальними векторами , тому ; – умова паралельності прямих ; – умова перпендикулярності прямих