Характеризація простору exp Q

Абсолютні ретракти. Абсолютні околові ретракти.

Означення.

Відображення f: простору в простір називається r – відображенням, якщо існує відображення g: , яке є правим відображенням для f, тобто таке, що композиція fg: є тотожним відображенням i простору на себе.

Означення.

Якщо існує r – відображення f: X>Y, то простір Y називається r – образом простору X.

Твердження 1

Композиція двох r – відображень є r – відображення.

Доведення. Нехай f1 : X>Y і f2 : Y>Z є r – відображенням і g1 : Y>X,

g2 : Z>Y – їх праві обернені. І нехай f=f2 f1 : X>Z і g=g1 g2 : Z>X.

Ми бачимо, що fg(z)=f2 f1 g1 g2 (z)=f2 g2 (z) для всякої точки z є Z.

Тому g є правим оберненим для f.

Твердження 2

Якщо f: X>Y є r – відображення, Y0 Y і X0 =f-1 (Y0), то обмеження f0 = f | X0 є r – відображення X0 на Y0

Доведення. Якщо g: Y>X є правим оберненим для f, то відображення g0= g | X0 є правим оберненим для f0, так як для довільної точки y0 є Y0 ми маємо g0 (y0) є X0 і, як наслідок, f0 g0 (y0)= fg (y0)=y0.

Частинним випадком r – відображень є рефракції.

Означення.

Нехай Y є підмножиною X. Тоді відображення f: Y>X називається ретракцією, якщо вкладення i: Y>X є правим оберненим для f, тобто якщо f (x)=x для всіх точок x є X.

Твердження 3

Всі r- відображення співпадають з відображенями виду hr, де r- ретрація, h – гомеоморфізм

Доведення. Ясно, що довільне відображення виду hr, де r – рефракція, h – гомеоморфізм, f r- відображенням. З другого боку, нехай f : X>Y є r – відображення з правим оберненим g. Поклавши Х0 = g(Y), r=gf і h=g-1, ми бачимо, що r є рефракцією Х на Х0, а h – гомеоморфізм Х0 на Y, і ми отримуємо представлення f у вигляді hr.

Означення

Підмножина X0 простору X називається ретрактом X, якщо існує рефракція X на X0.

Означення

Замкнена підмножина X0 простору X називається околовим ретрактом простору X, якщо X0 є ретрактом деякої відкритої підмножини UX, яка містить X.

Очевидно, що кожний ретракт простору X є його околовим ретрактом.

Твердження 4

Підмножина X0 простору X є його ретрактом тоді і тільки тоді, коли всяке відображення f0 цієї підмножини в довільному просторі Y має неперервне продовження f: X>Y.

Доведення. Якщо існує ретракція r: X>X0, то для всякого відображення f0: X0>Y, то, в частинному випадку, тотожне відображення i: X0>Y0 продовжується до відображення f: X>X0, яке є ретракцією.

Твердження 5

Підмножина Y0 простору Y є його ретрактом в тому і тільки в тому випадку, якщо для кожного простору X, кожної підмножини X0 цього простору і кожного відображення f0: X0>Y, такого, що f0(X0)Y0, із існування деякого продовження f’: X>Y випливає існування продовження f: X>Y, яке задовольняє умові f(X)Y0.

Доведення. Якщо існує ретракція r: Y>Y0 і продовження f’: X>Y відображення f0, то продовження f, для якого f(X)X0, ми одержимо, поклавши f= irf’, де i: Y0>Y є вкладенням. Навпаки, нехай Y0Y володіє властивістю, вказаною в твердженні. Якщо взяти Y в якості X і Y0 в якості X0, то вкладення i: Y0>Y (яке продовжується до тотожного відображення Y>Y) має продовження f: Y>Y, яке задовольняє умові f (Y)Y0 і є ретракцією Y на Y0.

Означення

Відображення f0, f1 є YX (множина всіх відображень X в Y) називається гомотопними, якщо для кожного t із відрізка [0,1] існує відображення ft є YX, яке неперервно залежить від t і співпадає на кінцях відрізка відповідно з f0 і f1.

Означення

Множина AX називається стягування по простору X в множину BX, якщо вкладення i: A>X гомотонне (в просторі XA) деякому відображенню f: A>X, такому, що f (A)B. Якщо при цьому B складається із однієї точки, то говорять, що A стягувана по X.

В частинному випадку, простір X може бути стягуваним по собі. (позначення X є C)

Означення

Простір X називається локально стягуваним в точці x0 є X, якщо всякий окіл U точки x0 містить окіл U0, стягуваний по U в точку.

Означення

Простір X називається локально стягуваним, якщо він локально стягуваний в кожній своїй точці. (позначення X є LC).

Означення абсолютного ретракта і абсолютного околового ретракта спочатку розглянемо для метризованих просторів, а пізніше для компактних метричних просторів.

Розглянемо клас M всіх метризованих просторів; так що запис X є M означає, що X метризований.

Означення

Простір X називається абсолютним ретраком для метризованих просторів, якщо X є M і для всякого гомеоморфізма h, відображаючого X на замкнену підмножину h (X) є ретрактом Y. (позначення: X є AR (M)).

Означення

Простір X називається абсолютним околовим ретрактом для метризованих просторів, якщо X є M і для всякого гомеоморфізма h, відображаючого X на замкнену підмножину h (X) простору Y є M, множина h (X) є околовим ретрактом Y. (позначення: X є ANR (M)).

Очевидно, із X є AR (M) випливає, що X є ANR (M).

Теорема 6 (про елементарні властивості просторів AR (M))

Для того, щоб метризований простір X був AR (M) – простором, необхідно, щоб X був r-образом опуклої підмножини лінійного нормованого простору, і достатньо, щоб X був r-образом опуклої підмножини локально опуклого лінійного простору.

Доведення. Припустимо, що X є AR(M). За теоремою Куратовського