Проблему неперервної залежності розв'язків диференціальних рівнянь на півосі вивчає теорія стійкості, яку розробив видатний російський вчений О.М. Ляпунов.

Розглянемо систему рівнянь

, (1)

яка визначена на множині . Припускаємо існування і єдність розв'язку задачі Коші з довільними початковими умовами Розв'язок системи (1), який при набуває значення , будемо позначати через .

Сформулюємо означення стійкості відносно початкових умов.

Означення.

Розв'язок системи (1) називають стійким за Ляпуновим, якщо:

Цей розв’язок існує на півосі

Для кожного і кожного можна вказати таке що кожний розв'язок системи (1), в якого , існує на півосі і задовольняє умову

Друга вимога означення стійкості має простий геометричний зміст: графік кожного розв'язку, значення якого при належить -околу точки , повинен при цілком належати -трубці (-смузі) розв'язку .

Розв'язок називають нестійким, якщо він не є стійким, тобто таким, для якого порушується хоча б одна з вимог в означенні стійкості.

Означення.

Розв'язок називають асимптотично стійким за Ляпуновим, якщо:

Він стійкий за Ляпуновим;

Для кожного можна вказати таке , що для кожного розв'язку , в якого виконується умова

.

Зауваження.

Розв'язок скалярного рівняння називають стійким (асимптотично стійким, нестійким), якщо стійкий (асимптотично стійкий, нестійкий) відповідний розв'язок еквівалентний системі рівнянь у нормальній формі Коші.

Дослідження на стійкість даного розв'язку системи можна звести до дослідження на стійкість тривіального розв'язку деякої допоміжної системи. Покажемо це в загальному випадку.

Зробимо у системі (1) заміну шуканої функції за формулою

, (2)

де - шукана функція (збурення розв'язку ), - розв'язок, який досліджується на стійкість. Ми отримаємо відносно у таку систему

. (3)

Система (3) називається системою збурених рухів, або системою збурень.

Ця система має тривіальний розв'язок, тобто точку спокою , і задача дослідження його на стійкість (асимптотичну стійкість, нестійкість) еквівалентна задачі дослідження на стійкість (асимптотичну стійкість, нестійкість) розв'язку системи (1).

Розглянемо лінійну систему

(4)

із неперервними коефіцієнтами на півосі . Розв'язок задачі Коші для системи (4) єдиний і існує на півосі .

Теорема 1.

Розв'язок системи (4) стійкий (асимптотично стійкий) тоді і тільки тоді, коли стійким (асимптотично стійким) є тривіальний розв'язок відповідної однорідної системи

Доведення.

У системі (4) виконаємо заміну (2):

, звідси, внаслідок тотожності , отримаємо стійку систему збурень

. (5)

Стійкість (асимптотична стійкість) тривіального розв'язку (5) еквівалентна стійкості (асимптотичній стійкості) розв'язку системи (1).

Теорема доведена.

Наслідок.

Оскільки система збурень (5) не залежить від розв'язку і функції , то всі розв'язки лінійної системи (4) стійкі (нестійкі, асимптотично стійкі) водночас. Тому коректним є поняття стійкості (нестійкості, асимптотичної стійкості) лінійної системи, причому достатньо досліджувати на стійкість лінійну однорідну систему (5).

Теорема 2.

Для стійкості лінійної однорідної системи необхідно і достатньо, щоб її фундаментальна матриця була обмеженою на .

Доведення.

Нехай і - збурений розв'язок системи (5), - довільні.

Тоді

якщо отже система (5) стійка.

Припустимо, що фундаментальна матриця необмежена на і покажемо, що у цьому випадку система (5) буде нестійкою. З припущення випливає, що серед стовбців матриці знайдеться стовпець із необмеженою на нормою, тобто існує така послідовність , для якої . Нехай довільне, а і як завгодно мале. За початкову умову збуреного розв'язку візьмемо вектор де - координатний орт простору Тоді а .

Так, як необмежена, то знайдеться таке , при якому, наприклад, А це означає нестійкість системи (5).

Теорема

Для асимптотичної стійкості лінійної однорідної системи (5) необхідно і достатньо, щоб норма ї фундаментальної матриці прямувала до нуля при .

Доведення.

Нехай . Обмеженість очевидна. Тому система (5) стійка. Маємо: при .

Бачимо, що друга вимога із означення асимптотичної стійкості у даному випадку виконується при будь-якому .

Нехай система (5) асимптотично стійка. Тоді тривіальний розв'язок асимптотично стійкий.

Згідно означення асимптотичної стійкості, для довільного розв'язку такого, що .

Нехай - довільний розв'язок системи (5) із початковою умовою Розглянемо розв'язок системи (5) такий, що Тоді Отже, при .

Тому і .

Теорема доведена.

Зауваження.

Розв'язки лінійного однорідного скалярного рівняння із неперервними на коефіцієнтами

1) стійкі тоді і тільки тоді, коли для будь-якого ;

2) асимптотично стійкі тоді і тільки тоді, коли де

матриця Веронського фундаментальної системи розв'язків цього рівняння.

Нелінійні системи, на відміну від лінійних, можуть мати як стійкі, так і нестійкі розв'язки.

3. Метод функцій Ляпунова

Нехай - скалярна функція змінної , визначена й неперервно диференційована в кулі і така, що .

Означення 1.

Функція називається додатновизначеною (від'ємновизначеною) в кулі , якщо для всіх виконується нерівність . В обох цих випадках функцію називають знаковизначеною.

Означення 2.

Функція називається додатносталою (від'ємносталою) в кулі , якщо для всіх виконується нерівність В обох цих випадках функцію називають знакосталою.

Означення 3.

Функція називається знакозмінною в , якщо в кулі вона набуває як додатних, так і від'ємних значень.

Розглянемо, наприклад, такі функції

а)

б)

в)

г)

д)

У випадку а) функція є додатно визначеною в крузі при у випадку б) функція є від'ємно визначеною в крузі при у в) функція додатно-стала, оскільки і не лише при , а й у всіх точках у випадку г) функція є від'ємно-сталою, бо вона перетворюється в нуль не лише при а й у всіх точках прямої

В д) функція А звідси випливає, що у будь-якому околі точки може набувати значень різних знаків. Тому функція є знакозмінною.

Розглянемо автономну систему рівнянь

, (1)

де Припустимо, що функція визначена і неперервна в кулі при деякому , задовольняє умову Ліпшиця в і , тобто система (1) має точку спокою.

Нехай - деякий розв'язок системи (1). Уздовж цього розв'язку функція , як функція від часу, неперервно диференційована.

Означення 4.

Величину

(2)

називають похідною, складеною вздовж розв'язків системи (1) (уздовж