У теорії стійкості вивчається поведінка функцій уздовж траєкторій досліджуваної системи диференціальних рівнянь, щоб за допомогою здобутої інформації зробити висновок про стійкість або нестійкість розв'язку. Функції які при цьому використовуються, називаються функціями Ляпунова.

Теорема 1. (Теорема Ляпунова про стійкість)

Якщо для системи рівнянь (1) існує знаковизначена в кулі функція , похідна якої внаслідок (1) є знакосталою функцією зі знаком, протилежним знаку , або тотожно дорівнює нулю, то точка спокою системи (1) стійка за Ляпуновим.

Доведення.

Нехай - додатно-визначена функція, - довільне додатне число , . Внаслідок неперервності знайдеться таке , що при . Розглянемо будь-який розв'язок системи (1) такий, що і покажемо, що при всіх Від супротивного припустимо, що існує таке що при є незростаючою функцією . Тому , що неможливо, оскільки і згідно з означенням числа . Отже, і точка спокою системи (1) стійка за Ляпуновим.

Теорема доведена.

Зауваження.

Якщо - від'ємно визначена функція, то за функцію Ляпунова можна взяти додатно-визначену функцію

Наслідок

Якщо система (1) має знаковизначений в околі точки спокою перший інтеграл, то точка спокою стійка за Ляпуновим. Дійсно, функцією Ляпунова в цьому випадку може бути сам перший інтеграл, похідна якого внаслідок системи тотожно дорівнює нулю згідно з означенням першого інтеграла.

Теорема 2. (Теорема Ляпунова про асимптотичну стійкість). Якщо для системи рівнянь (1) існує знаковизначена в кулі функція , похідна якої унаслідок системи (1) є також знаковизначеною функцією зі знаком, протилежним знаку , то точка спокою системи (1) асимптотично стійка.

Доведення.

Нехай - додатно-визначена функція в кулі . Використаємо таку властивість знаковизначених функцій: якщо то умова еквівалентна умові За теоремою 1 точка спокою стійка за Ляпуновим. Тому існує таке що для будь-якого розв'язку із початковою умовою виконується нерівність при всіх Для доведення твердження теореми достатньо показати, що при , якщо .

Від супротивного припустимо, що Тоді існує таке , що при всіх виконується нерівність За умовою теореми , де - додатно-визначена функція. Нехай Тоді маємо нерівність інтегруючи цю нерівність у межах від до , отримаємо

або , що суперечить умові додатної визначеності функції Отже, а тому й .

Теорема доведена.

Зауваження.

Умови теореми 2 можна послабити. Справедливе твердження: нехай виконуються умови теореми 1 і множина не містить цілком повних траєкторій системи (1), крім точки спокою . Тоді точка спокою системи (1) асимптотично стійка.

Теорема 3. (Теорема Ляпунова про нестійкість)

Якщо для системи (1) існує функція , похідна якої унаслідок системи (1) є знаковизначеною, а сама функція у будь-якому околі точки не є знакосталою зі знаком, протилежним знаку то точка спокою системи (1) нестійка.

Доведення.

Нехай є додатно визначеною функцією в кулі . Так, як непевно диференційована, то вона обмежена при . Нехай - довільне мале число. Внаслідок умови теореми існує точка така, що . Нехай є розв’язком системи (1) із початковою умовою . За умовою теореми функція монотонно зростає, внаслідок цього . Покажемо, що при деякому значенні виконується нерівність супротивного припустимо, що при всіх Оскільки то існує таке , що при всіх Покладемо Тоді при всіх

Про інтегруємо останню нерівність у межах від до . Отримаємо або що суперечить обмеженості функції при . Оскільки будь-яке і фіксоване. То з нерівності випливає нестійкість точки спокою системи (1).

Теорема доведена.

Зауваження.

Умову знаковизначеності +похідної у теоремі 3 можна послабити. Справедливе наступне твердження.

Теорема 4 (Теорема Четаєва про нестійкість).

Нехай у деякому околі точки визначена неперервно диференційована функція із такими властивостями:

1) в як завгодно малій кулі існує область така, що точка належить межі області , ;

2)

Тоді точка спокою системи (1) нестійка.

Розглянемо приклад 1.

Для цієї системи функція задовольняє умови теореми Четаєва:

1) при

2) при .

За множину можна взяти Тому точка спокою даної системи нестійка.

Приклад 2.

Дослідити на стійкість тривіальний розв'язок системи диференціальних рівнянь.

(*)

Система рівнянь першого наближення має вигляд:

Якщо , то характеристичне рівняння системи першого наближення

має дійсні корені різних знаків. У цьому випадку тривіальний розв'язок системи (*) – нестійкий.

Якщо , то корені характеристичного рівняння мають нульові дійсні частини і, отже, дослідження на стійкість за першим наближенням неможливе.

Покажемо на цьому прикладі один із способів побудови функції Ляпунова, що носить назву методу відокремлення змінних. Шукаємо функцію Ляпунова у вигляді

де і - поки-що невідомі диференційовані функції. Вздовж розв'язків системи (*) будемо мати

Вимагаємо тепер, щоб похідна зображалась у вигляді суми двох функцій: однієї, що залежить тільки від , другої – тільки від . Для цього, очевидною необхідне виконання тотожності

.

Відокремлюючи змінні, одержуємо співвідношення

.

Кожний із дробів у цьому співвідношенні дорівнює сталій величині. Будемо вважати, що ця стала дорівнює 2 (це не обмежує загального розгляду, бо функції і визначаються із точністю до сталої). Тоді матимемо

звідки, після інтегрування, отримуємо:

Отже,

Якщо то функція буде знаковизначеною. Розглянемо випадок, коли Тоді питання про стійкість системи (*) вирішується залежно від знаків коефіцієнтів і :

для виконуються умови теореми 1 про стійкість;

для виконуються умови теореми 2 про асимптотичну стійкість;

для існує область (при), в якій тобто виконуються умови теореми 4 про нестійкість.

Інші варіанти співвідношень між коефіцієнтами аналізуються аналогічно.