твердження

Матрицант гамільтонового рівняння (1) задовольняє тотожність

(2)

Навпаки, якщо задовольняє умову , неперерівна маючи інтегровану кусково-неперервну похідну матрицю-функцію і , то є матрицантом деякого гамільтонового рівняння (1)

Доведення:

Нехай - матрицант гамільтонового рівняння (1). Рівність (2) має місце при , оскільки . Похідна від лівої частини рівності рівна нулю

так як

.

Отже, рівність (2) справедлива для всіх значень .

Перейдемо до доведення другої половини твердження. Беручи визначник обох частин рівності (2), отримаємо

тобто існує . Диференціюючи (2), знайдемо

Помноживши отриману тотожність зліва на і справа на , отримаємо

(3)

Оскільки . Остання тотожність означає, що матриця в правій часині (3) ермітова, позначивши її через , отримаємо

що і треба було довести.

Означення.

Дійсна матриця задовольняє співвідношення

(де - дійсна неособлива кососиметрична матриця) називається симплектичною (або -отртогональна). Таким чином, матрицант канонічного рівняння (1) являється для будь-якого симплектичною матрицею.

Із тотожності (2) зразу виводяться наступні властивості розв'язку гамільтонового рівняння, відзначені вперше Пуанкаре:

І. Для будь-яких двох розв'язків гамільтонового рівняння

(4)

ІІ. Припустимо, що є лінійним перший інтеграл гамільтонового рівняння (1), тобто інтеграл вигляду . Тоді вектор-функція являється розв'язком рівняння (1).

Властивість І перевіряється безпосередньо:

Можна перевірити, що і обернено із властивості І випливає тотожність (2).

Доведемо властивість ІІ.

Згідно твердження вектор-функція являється розв'язком спряженого рівняння

Оскільки , отримаємо

, що і треба було довести.

У випадку, коли , отримаємо що розв'язком рівняння

являється вектор , тобто вектор з компонентами де - компоненти вектора .

Ліва частина співвідношення (4) для двох дійсних розв'язків системи називається інваріантом Пуанкаре. Для співвідношення (4) набуває вигляду

(5)

де - компоненти вектора і - компоненти вектора .

2. Крайові умови задані двома квадратичними матрицями такими, що

(1)

причому із рівності (де - стовбцева матриця) випливає . Крайова задача складається з відшукання такого розв'язку рівняння

(2)

що

(3)

для деякої стовбцевої матриці Допустимими крайовими умовами будуть, в будь-якому випадку, періодичні умови , отримані, якщо покласти в більш загальному випадку ми можемо взяти , з будь-яким дійсним . Ще більш загально ми можемо взяти , так що , а в якості - будь-яку -унітарну матрицю, тобто таку, що

Інший спосіб складається з виконання умов (1) за рахунок того, що в ньому дві частини рівності перетворюються в нуль. Це має місце, наприклад, у випадку Штурма-Ліувілля; представляючи систему

у вигляді

ми можемо записати крайові умови так:

де невідомі, але не рівні нулю одночасно; як виявляється в цьому випадку ні одна з них не може бути рівна нулю. Тут - матриці, які стоять в правій частині цих рівностей і легко перевірити, що

і аналогічно для . Ми переконуємося також, що не мають спільних нуль-векторів, так як із випливає, що .

Теорема.

Власні значення задачі (2), (3) всі дійсні і їх безліч не мають скінченної граничної точки. Більш того, якщо позначити власні числа через

(4)

то

(5)

при будь-якому .

Припустимо спочатку, що - комплексне власне значення, таке що задовольняє рівняння (2) і умови (3) при . Вектори , не перетворюються в нуль одночасно, тому не рівні нулю одночасно і таким чином, - нетривіальний розв'язок. Розглядаючи співвідношення

(6)

можна побачити, що на основі (3) його ліва частина є

, що в свою чергу, згідно (1), рівна нулю. Проте інтеграл в правій частині (6) згідно не може анулюватися, так щоб тому дійсна. Таким чином, всі власні значення дійсні.

Далі можна показати, що власні значення являються нулями деякої цілої функції. Визначимо, як і вище, фундаментальний розв'язок (квадратичну матрицю-функцію від ) матричного аналога рівняння (2) умовами

(7), (8),

де - одинична матриця порядку ; позначимо цей розв'язок через або . При фіксованому це буде ціла матриця-функція від , тому всі її елементи являються цілими функціями. Розв'язок рівняння (2) зв'язаний з цим фундаментальним розв'язком співвідношенням

(9)

Насправді, права частина є розв'язком рівняння (2); в цьому можна переконатися шляхом домноження (7) справа на . Крім цього, в силу (8) цей розв'язок при співпадає з .

Застосовуючи (0) при і використовуючи крайові умови (3), маємо

(10)

і щоб це рівняння мало розв'язок повинна виконуватися умова

(11)

Навпаки, якщо задовольняє рівняння (11), то знайдеться нетривіальний розв'язок рівняння (10) і ми отримаємо розв'язок крайової задачі, кладучи . Так як елементи матриці суть цілої функції від , то ліва частина (11) також є цілою функцією. Ми тільки-що показали, що вона не має дійсних нулів, а отже, не анулюється тотожністю. Значить, безліч її нулів не має скінченної граничної точки.

Тому можна послідовно занумерувати власні значення . Для визначення можна припустити, що це зроблено в порядку не спадання модулів

(12)

занумерувати їх, як у випадку Штурма-Ліувілля, можна не завжди, так як вони можуть спрямуватися до нескінченності в обох напрямках. Ми припускаємо, що кожне записане в послідовності (12) раз, де - кількість лінійно-незалежних розв'язків рівняння (10); з кожним кратним власним значенням буде, таким чином, зв'язано безліч послідовних індексів.

І, нарешті, нерівність (5) випливає із того факту, що матриця або її елементи являються цілими функціями порядку не вище 1 з максимумом модуля вигляду Ця оцінка, а з нею і оцінка (5) можуть бути поліпшені, якщо матриця має деякий спеціальний вигляд, в частковості якщо ранг її менший .