Поняття числової послідовності границя послідовності. Вправи для розв’язування.

Теореми про границі

Теорема. Для того щоб послідовність xn мала границю а, необхідно і достатньо, щоб xn=a+yn, де уn – нескінченно мала послідовність.

Доведення. Необхідність. Нехай . Візьмемо довільне число > 0. завжди знайдеться число N таке, що при n > N виконується нерівність . Позначимо xn=a-yn . Для послідовності yn виконується нерівність . Це означає, що .

Достатність. Нехай yn – нескінченно мала послідовність. Візьмемо довільне число > 0. для нього знайдемо число N, таке що при n > N виконується нерівність . Звідси випливає . Це й означає, що .

Теорема. Якщо послідовність хn і yn збігаються, а також

;

,

то послідовність хn + yn , хn yn , const xn , також збігаються і виконуються наведені далі рівності.

1. – границя суми послідовностей дорівнює сумі їх границь, якщо вони існують.

2. - границя добутку послідовностей дорівнює добуткові їх границь, якщо вони існують.

3. - сталий множник винести за знак границі.

4. .

Границя відношення двох послідовностей дорівнює відношенню границь послідовностей, якщо вони існують і .

Доведення. 1. Якщо і , то за теоремою 17

,

де - нескінченно малі величини. Додаючи почленно дві останні рівності, маємо:

.

Сума двох нескінченно малих величин є величина нескінченно мала. Отже, підкреслений вираз є нескінченно малою величиною, а це означає, що

.

2. Розглянемо добуток

.

Маємо:

- добуток обмеженої величини на нескінченно малу – є величина нескінченно мала. - добуток двох нескінченно малих величин є нескінченно мала величин.

Тоді з теореми 17 випливає, що

.

3. Наслідок із 2, якщо .

4. покладемо для визначеності . Розглянемо дріб

.

Починаючи з деякого номера N, виконується нерівність . У цьому разі

.

Отже, величина - обмежена. Тоді як добуток обмеженої величини на нескінченно малу є нескінченно малою величиною.

Отже, з теореми 14 і 17 маємо:

.

Приклад. Знайти

.

ГРАНИЦЯ ВІДНОШЕННЯ ДВОХ МНОГОЧЛЕНІВ

Правило:

ЗБІЖНІ ТА РОЗБІЖНІ ПОСЛІДОВНОСТІ

Означення. Число а називається границею послідовності , якщо для кожного як завгодно малого додатного числа існує таке число , що

.

Позначення: .

Графічна ілюстрація

Означення. Послідовність, яка має границю, називається збіжною, а яка не має границі називається розбіжною.

Приклад. Послідовність - збіжна, оскільки існує (за означенням для будь-якого ).

Зауваження. Послідовність, границя якої дорівнює 0, називається нульовою послідовністю.

Приклад. Послідовність розбіжна, оскільки не має границі. Вона почергово набуває значення +1 і –1.

ВЛАСТИВОСТІ ЗБІЖНИХ ПОСЛІДОВНОСТЕЙ

Теорема 1. границя сталої дорівнює цій сталій:

.

Доведення. Справді, для всіх , тому

.

Теорема 2. Якщо послідовність має границю, то ця границя єдина.

Доведення. Припустимо супротивне. Нехай і , причому .

для визначеності візьмемо, що і . Оскільки , то знайдемо число N , таке що при виконується нерівність

(1)

А оскільки водночас , то знайдемо число N2 , таке що при

(2)

Візьмемо . При одночасно виконуються обидві нерівності (1), (2).

Оцінімо

,

тобто .

Це правильна (хибна) нерівність. Дістали суперечність, яка й доводить теорему.

Теорема 3. послідовність , яка має границю, є обмеженою.

Доведення. Нехай . Візьмемо довільне , наприклад . Тоді знайдеться число N, таке що при всіх виконуватиметься нерівність . Звідси випливає:

.

Позначимо

.

Тоді для всіх n

,

тобто послідовність обмежена.

Теорема 4. Нехай . Тоді знайдемо число N, таке що при будь-якому справджується нерівність

.

Доведення. Припустимо супротивне, тобто .

Тоді згідно з теоремою 4 можна стверджувати, що починати з деякого номера n виконуватиметься нерівність

А це суперечить умові теореми. Отже, припущення неправильне.

Теорема 6. Якщо і , , то .

Доведення. Припустимо супротивне. Нехай . Тоді згідно з теоремою 4 і 5, починаючи з деякого номера виконуватимуться нерівності

Тоді , що суперечить умові. Отже, припущення неправильне.

Означення. Перехід від нерівності до нерівності називається граничним переходом у нерівності.

Теорема 7 (про “охоплену” послідовність або теорема про двох міліціонерів). Нехай виконується нерівність . Якщо послідовність і збіжні, причому , , то послідовність також буде збіжною і .

Доведення. Візьмемо довільне . Тоді знайдеться число N, таке що при виконується нерівність . Аналогічно, знайдеться число N2, таке що при виконується нерівність . Візьмемо . Тоді при виконуються одночасно обидві нерівності

або

Розглянувши підкреслені нерівності, запишемо:

.

Остаточно дістанемо , або , тобто для довільного можна знайти N, таке що при виконується нерівність , що означає .

Приклад. Розглянемо послідовність .

При всіх n виконується нерівність .

Оскільки то .

Теорема 8. (Больцанова-ейєрштрасса). Будь-яка монотонна обмежена послідовність має границю.

Доведення. Розглянемо множину значень послідовності . Ця множина обмежена, тому вона має точку верхню і нижню межі. Для визначеності вважаємо, що послідовність монотонно зростає.

Позначимо і доведемо, що . При всіх n за умовою теореми виконується нерівність . Візьмемо довільне . За означенням точної верхньої межі можна знайти значення , таке що . Оскільки послідовність монотонно зростає, то при маємо .

Із нерівностей виливає: і .

Це означає, що .

ВПРАВИ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ

Знайти границі функції

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23.

24.

25.

26.

27. (m і n – цілі числа)

28.

29.

30.

31. ( і - цілі додатні числа)

32. 1) 2)

3)

33. 1) 2)

3) 4)

5) 6)

34. 35.

36. 37.

38.

39. 1) 2)

40. 41.

42. 43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.