Операція об’єднання двох нечітких множин А і В носить назву нечіткого “або”.

Якщо використати результати попереднього прикладу, то можна записати

Диз’юнктивна сума. Диз’юнктивна сума двох нечітких множин визначається в термінах об’єднань і пересічень наступним чином:

.

Ця операція відповідає нечіткому диз’юнктивному “або”.

Приклад.

Нехай

,

,

,

,

,

,

3.6. Різниця. Різниця визначається співвідношенням

.

Приклад. Використовуючи результат попереднього прикладу можемо записати:

.

Властивості операції пересічення і об’єднання

4.1.

4.2. Асоціативність

;

.

4.3. Іденпотентінсть

;

.

4.4. Дистрибутивність

; (аналогія а(b=c)=(ab)+(ac))/

/

4.5. Нехай - пуста множина для якої , тоді і (аналогія а:0=0 і а=0=0).

4.6. Якщо Е універсам, то

; як min!

; як max!

4.7. Формула де Мортана

;

.

5. Алгебраїчний добуток і сума двох нечітких множин

Нехай Е – універсам, а А і В нечіткі множини із Е.

Алгебраїчний добуток А і В позначається так:

і визначається наступним чином:

.

Алгебраїчна сума цих двох множин позначається

А+В

і визначається наступним чином:

.

Приклад.

,

,

,

,

Для звичайних (чітких) множин має місце наступне співвідношення:

;

.

Це випливає із того, що для чітких множин А і В функція належності приймає тільки два значення 0 і 1. Дійсно

6. Властивості алгебраїчних операцій

для нечітких множин

6.1. Комунікативність

;

.

6.2. Асоціативність

;

.

6.3. Нехай - пуста множина, тоді

.

6.4. Якщо Е універсам, то .

;

.

Інволюція

.

6.6. Формула де Мортана

;

.

Всі ці властивості легко доказати, якщо ввести позначення ; і .

Тоді

1. .

.

2. .

.

Якщо розкрити дужки, то отримуємо тотожність.

Аналогічно доказуються і інші властивості.

6.7. При одночасному використанні операцій “”, “”, “”, і “” справедливі такі співвідношення:

;

;

;

.