Регулярні методи рішення некоректно поставлених задач
10. Основні поняття. Розглянемо задачу рішення рівняння
, (5.206)
де оператор А діє із метричного простору U в метричний простір F, - заданий елемент, і задачу вирахування значень
, (5.207)
де L – оператор із U в метричний простір - заданий елемент. Позначимо через D (•) область визначення оператора; покладемо
і будемо шукати безліч тих елементів и, для яких
(5.208)
де - заданий елемент із G. При - задачы (5.207).
Нехай - s-компонентний вектор точних даних основної задачі, - вектор наближених даних з однотипними компонентами тієї ж розмірності, де - точнісний вектор, визначаючий точність наближених даних. Всяке відображення , визначене на любих наближених даних , значеннями якого являються непусті множини
,
назвемо наближеним методом рішення основної задачі (5.208). Наближений метод назвемо регулярним, якщо виконані наступні співвідношення
Погрішністю наближеного методу назвемо величину
де - рішення основної задачі. Наближений метод назвемо збіжним (стійким), якщо
Наближений метод назвемо K-регулярним, якщо для деякого виконуються співвідношення
Нехай U, F, G – гільбертові простори. Задамо деякий лінійний оператор В, визначений на із значеннями в банаховому просторі V. Припускаємо, що нулі оператора А знаходяться серед нулів В і що для любої послідовності , такий що
виконується припущене співвідношення (підсилена підкореність В оператором А і L) . Крім того, для деякої області
Назвемо В-погрішністю K-регулярного наближеного методу величину
де
Оцінною функцією назвемо
20. Теорія точності регулярних методів. При досить слабких обмеженнях [367] мають місце наступні результати.
Для того щоб наближений метод вирішення основної задачі був збіжним, необхідно і достатньо, щоб він був регулярним. Зокрема, методи регуляризації Тихонова, метод нав’язування і метод квазірішення (п.1.5.11) регулярні.
Нехай U, F, G – гільбертові простори. Покладем
Для того щоб наближений метод був K-регулярним, необхідно і достатньо, щоб він посилено і слабо сходився, тобто, щоб для любих
Нехай заданий деякий K-регулярний наближений метод і виконані співвідношення
Тоді Покладемо
Для всякого K-регулярного методу
30. Приклади регулярних методів.
1. Введемо множини
де
Оскільки безліч рішень та непорожні, якщо основна задача розв’язувана. Множини визначають метод , який буде регулярним (при досить слабких обмеженнях [367]).
2. Нехай відома стала с, для якої
(5.209)
Введемо множини
Множини визначають метод , який буде також регулярним.
3. Нехай відомі і стала с, для якої справедливо (5.208). Визначимо функціонал
і визначимо через множини елементів, на яких досягає найменшого значення. Відповідний метод буде-регулярним.
5.7.2. Обчислення оціночної функції [248,367]
10. Загальні результати. Нехай простір U сепарабельний, а множина DAL щільна в U. Припустимо, що існує систем елементів щільна в U і A-ортогональна, т.т.
Крім того, нехай квадратичні форми (простір V припустимо також гільбертовим, а оператори A, L, B – лінійними) представлені у вигляді
де
Відносно припустимо, що існують деякі натуральні , також, що і . При вказаних припущеннях
де вектор задовольняє вимоги
Нехай - зростаюча випукла функція і значення
Припустимо настільки малим, що Позначимо через т найменший індекс, при якому Тоді
Якщо, зокрема, то
При отримуємо
20. Приклади.
1. Нехай
.
Тоді Зокрема ця оцінка справедлива, якщо
2. Розглянемо задачу про аналітичне продовження функції , аналічної в крузі і сумуючої з квадратом на його границі . Покладемо
Тоді
3. Нехай - яке-небудь розкладення одиниці в гільбертовому просторі Н і
Із нерівності моментів справедливого для любих додатних p і q, витікає
5.7.3. Числові алгоритми вибору параметру регуляризації [367]
Чисельне рішення некоректно поставлених задач методом регуляризації А.Н. Тихонова зазвичай зводиться до задачі мінімізації квадратичної формули виду
(5.210)
на просторі векторів і до певного параметру регуляризації із додаткової умови виду - нелінійний функціонал, визначений на рішеннях задачі мінімізації (5.120), а - апріорі задаваємий рівень допустимих значень . В (5.210) А означає прямокутну матрицю порядку - евклідові норми відповідно в ; С – апріорі задаюча додатно визначена матриця порядку , визначаюча рівень «зв’язку» компонент вектору х, а
Розглянемо наступні три способи вибору параметру :
1)
2)
3) (5.211)
Величина характеризує задаючий рівень нев’язки і визначається методом нев’язки. Величина визначається методом квазірішення і зв’язана з апріорними свідченнями про розмір С-сфери, в якій знаходиться шукане рішення. Величина вибирається із тих же співвідношень, що і . Функції непереривні при , при цьому строго монотонно зростають, а строго монотонно спадає. Тому кожне із рівнянь (5.211) має не більше ніж по одному рішенню; позначимо їх відповідно через .
Відмічені властивості функцій не забезпечують застосування швидкосходящих алгоритмів відшукування коренів рівнянь (5.211) ньютонівського типу. Тому вводяться рівняння
(5.212)
Метод дотичних Ньютона для визначення коренів рівнянь (5.212) сходиться з любого початкового наближення , причому найбільша швидкість сходження методу буде при .
Нехай і у – одна із функцій R, або F, так що рівняння (5.212) запишуться у вигляді
(5.213)
Швидкість сходження методу дотичних Ньютона
(5.214)
дається формулою , де - корінь рівняння (5.213), а
При , достатньо близьких до , справедливі наступні оцінки для
де - сингулярні числа матриці N, т.т. власні значення матриці N*N, – верхня трикутна матриця.
Необхідні для реалізації (5.214) значення знаходяться із співвідношення
де вектори і - рішення рівнянь
Деталі числової реалізації описаного методу див. [367, 534] і розд.6.
5.7.4. Про шукання всіх рішень операторних рівнянь
10. Випадок лінійних рівнянь [245]. Нехай дано лінійне опереторне рівння в банаховому просторі і апріорі нічого невідомо про його рішення. Методи рішення некоректно поставлених задач (п.5.1.1.) дозволяють з потрібною точністю визначити елемент , який доставляє найменше значення . Якщо мається можливість підвищити цю точність необмежено і виявиться, що при цьому , то вихідне рівняння буде вирішуваним, а х*
