,

де - випадкові постійні.

Другий підхід оснований на введенні комплексного параметру і визначенні спектру оператора А. Нехай

(5.215)

де G має зворотний оператор G-1, Т – цілком непереривний оператор, –комплексний параметр. Значення , при якому оператор має нейтральні нулі, називається характеристичним. Всі характеристичні значення і тільки вони можуть бути знайдені як можливі граничні точки характеристичних значень приближених кінцевомірних операторів , отриманих сходячими проекційними методами (п.5.2.2.), коли . Проте всі рішення (2.215), взагалі, не можуть бути отримані як межі все можливих послідовностей розв’язків кінцевомірних рівнянь . Нехай - характеристичне значення оператора . Тоді рішення рівняння (5.215) як функція в районі може бути представлено у вигляді

де оператори від не залежать, а оператор - аналітична функція від в районі . Областю значень оператор являються всі рішення однорідного рівняння , причому

де С – район досить малого радіусу з центром в точці (за радіус С можна прийняти, наприклад, , де - найблжче до характеристичне число, відмінне від ). Нехай - наближений розв’язок рівняння (5.215), отримане всеодно яким методом, лишень би було рівномірно близько до на С. Оскільки з потрібною властивістю може бути отримано любим із вказаних вище методів. Маючи на увазі, що

знаходимо

де r можна визначити як найменше ціле додатне число, володіюче властивістю

або

.

Замінивши інтеграли якими-небудь формулами квадратур, наприклад, поклавши

де – радіус окружності С, приходимо до необхідності обчислити для ряду конкретних значень . Якщо рівняння (5.215) розв’язується при і фіксуючому , то всі і загальне рішення цього рівняння буде мати вигляд . Приймаючи
і проектуючи на підпростір , можна найти всі лінійно незалежні корені оператора .

20. Випадок нелінійних рівнянь [154, 374]. Нехай на просторі R заданий оператор T і вимагається визначити його нерухомі точки, т.т. точки, задовольняючі вимогу

(5.216)

Апріорі можливі наступні випадки: 1) оператор Т нерухомих точок не має; 2) оператор Т має одну нерухому точку; 3) оператор Т має, по крайній мірі, дві нерухомі точки.

Нехай R певна метрика . Сходжувану послідовність точок із R назвемо розв’яжуючою для оператора Т, якщо Точку назвемо -підходящою для оператора Т, якщо , де . Нехай простір R компактно; сітку для підпростору назвемо
-підходящою для оператора Т і позначимо через , якщо вона містить, по крайній мірі, один вузол, -підходящий для оператора Т. Позначимо ще через модуль непереривності непереривного оператора Т.

Якщо непереривний оператор Т заданий на компактному просторі R і відмінний від константи, то для існування, по крайній мірі, однієї його нерухомої точки необхідно і достатньо, щоб для випадкового додатного числа знайшлось найбільше додатн число , так, що для додатного числа існує, по крайній мірі, одна -сітка для R, - підходяща для оперетора Т, причому при . Число отримується у вигляді розв’язку рівняння відносно .

Нехай в просторі R визначений деякий рахунковий процес утворення впорядкованих пар його точок, що називають відміченими. Послідовність точок із R назвемо ланцюжком, якщо кожна пара сусідніх її точок являється відміченою. Можна вказати наступний спосіб побудови всіх (з точністю до еквівалентності) розв’язуючих послідовністю непереривного оператора Т, заданого на компактному просторі R і відмінного від константи.

Задамося послідовністю додатних чисел сходящих до нуля, причому такої, що ряд, складений із чисел …, сходиться. Для чисел і побудуємо, якщо це можливо, -сітку , - множина всіх нерухомих точок оператора Т, - множина сфер радіуса в метриці покриваючих , і -сітку . Якщо це неможливо, то задача вирішена. Потім для чисел побудуємо, якщо це можливо, -сітку і -сітку . Якщо це неможливо, то задача вирішена. Потім почнемо побудову ланцюжків, т.т. для кожного елемента побудуємо всі можливі відмічені пари (y, z), де і вибирається так, що виконуються умови: Потім для чисел побудуємо, якщо це можливо, -сітку і -сітку . Якщо це неможливо, то задача вирішена. Після того продовжимо побудову ланцюжків, т.т. для кожного елемента z, що являється кінцем вже побудованої частини якого-небудь ланцюжка, побудуємо всеможливі відмінні пари , де і задовольняють вимоги:
І так далі. Якщо цей процес втілювати як завгодно далеко, то буде як завгодно далеко втілюватися процес побудови точок (з точністю до еквівалентності) вирішуючи послідовністю оператора Т, які являються ланцюжками.

Коротко розглянемо другий підхід, пов’язаний з лінеаризацією нелінійного оператора і з результатами п.5.7.4. : 10. Нехай має похідну в точці , причому похідна необоротна в R. Рівняння (5.216) перетворюєм до системи [154]:

(5.217)

де - такі елементи, що

а - повне лінійно незалежні системи, які являються нулями відповідно однорідних лінійних рівнянь

(5.218)

Смисл переходу до системи (5.217) в тому, що тепер лінійний оператор має зворотний при любих значеннях . Нехай в сфері виконується вимога

Тоді рівняння (2.218) можна розв’язати спрощеним методом Ньютона

який буде сходитися до деякого рішення Значення , визначаються із рівняння розставлення
.

Знайшовши всі значення і підставивши їх в , отримаємо всі рішення , які знаходяться в районі . Застосовуючи кусочно-лінійну апроксимацію оператора, таким чином можна приблизно визначити всі розв’язки у всій області визначення оператора.

5.7.5. Узагальнення