10. Негативні простори. Нехай раніше введені простори функцій (п.3.1.6) і нехай Позначимо через доповнення множини по формі

(5.219)

Простір зручний тим, що в нього входять «погані» функції, наприклад, -функція Дирака. Можна показати [180], що

(5.220)

де - випадкова послідовність в , така, що при . Із (5.219), (5.220) витікає нерівність

Потім, нехай раз безперервно диференціюючи на [0,1] функції , перетворюючись в нуль разом із своїми похідними при . Норма в цьому просторі визначається рівністю

- доповнення до множини по скалярному добутку

Через позначимо доповнення функції із по нормі

(5.221)

де - білінійна форма, співпадаюча із скалярним добутком в , коли . Із (5.221) витікає (узагальнена) нерівністю Шварта
.

Аналогічні поняття можна ввести для просторів вектор-фукнцій.

20. Оператори усереднення. Введемо процес усереднення для функцій (п.5.7.5 : 10), який призведе до послідовності функцій, маючисх похідні всіх порядків і які сходяться в відповідних просторах до початкових функцій.

Розглянемо на відрізку [0, 1] функцію , яка являється безкінечно диференцуіюючої і рівною нулю в районі точок 0, 1 і поза [0, 1], причому . Покладемо , і введемо оператори усереднення

Нехай , де k – випадкове ціле число. Тоді справедливе співвідношення [180] :

30. Деякі додатки. В [180, 340] показано, що розв’язання лінійних систем диференціальних рівнянь з розривними початковими функціями, розв’язок рівнянь Винера – Хопра та інших попадають в клас узагальнених функцій .

Нехай, наприклад,

(5.222)

де х – початковий вектор, F – задана матриця, елементи якої можуть бути розривними функціями, - заданий вектор, . Тоді можна показати [180], що рівняння (5.222) має єдиний розв’язок х, який належить , в тому сенсі, що існує послідовність функцій із для якої

РОЗВ’ЯЗАННЯ ІНТЕГРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

6.1. Лінійні інтегральні рівняння типу Фредгольма другого роду

6.1.1. Визначення і основні властивості

Лінійними інтегральними рівняннями типу Фредгольма другого роду називаються рівняння виду

(6.1)

при деяких обмеженнях на задання (в загальному комплексозначні) функції: ядра і праву частину . Якщо Е – лінійне нормування банахового простору функцій, то шукається також в Е, а ядро таке, що оператор

являється цілком безперервним в Е, т.т. перетворює в компактну всіку обмежену в Е послідовність. Ядро для якого оператор являється цілком безперервним називається фредгольмовським. В просторі безперервних функцій С зазвичай пропонується, що

і в просторі функцій , сумуючих з квадратом з вагою

(6.3.)

Тут знаком позначена норма оператора в просторі, відповідаю чому і.

Для розв’язання рівняння (6.1) в необхідно і достатньо, щоб була ортогональна до всіх розв’язків спряженого однорідного рівняння

(6.4)

т.т. щоб

Простір розв’язків рівняння (6.4) має завжди кінцеву розмірність, співпадаючу із розмірністю простору розв’язків рівняння Також говорять, що простори нулів операторів K* і K мають одинакову кінцеву розмірність. Якщо (6.4) має лишень тривіальне рішення , то оператор K має обмежений зворотний оператор і рівняння (6.1) має єдиний розв’язок

називається резольвентою рівняння (6.1).

Нерідко рівняння (6.1) записують дещо в іншому вигляді:

де - комплексний параметр. Тоді резольвента рівняння залежить від . Ті , для яких рівняння має нетривіальний розв’язок, називаються характеристичними; називається власним значенням оператора . Цілком безперервний оператор має дискретний спектр власних значень з хіба що нульовою граничною точкою. Відповідні нетривіальні рішення рівняння називаються власними функціями оператора або характеристичними функціями оператора K.

Значення рівнянь типу Фредгольма другого роду досить велике, так як мається ряд ефективних методів їх розв’язання і до них наводяться багато інших класів рівнянь. Нерідко в додатках зустрічається окремий випадок рівнянь виду (6.1) – рівняння типу Вольтери другого роду

(6.5)

Ці рівняння завжди мають єдиний розв’язок. Ядро із властивістю (6.5) не обов’язоково повинно бути фредгольмовським.

Випадок іншої області інтегрування заміною змінної завжди можна звести до канонічного випадку [0,1] або [-1, 1]. Випадок системи лінійних інтегральних рівнянь і многомерних інтегральних рівнянь може бути записаний аналогічно (1), де будуть вектор-фукнціями, - матрицею, а х, у точками (векторами) відповідного многомерного простору; інтеграл можна розуміти як многомерний по одиничному кубу [0, 1]. При цьому зберігаються всі вказані вище визначення і властивості, треба тільки під розуміти одну із погоджених норм матриці і під умовою розуміти відповідні нерівності для всіх компонент векторів у і х.

6.1.2. Оцінка спадкової погрішності

Нехай замість реального рівняння (6.1), я яким ми мали справу, існує деяке ідеальне рівняння

з деякими ми хотіли бі мати справу, якщо б не погрішності вимірів та інші практичні забруднення. Вхідні дані і нам відомі, а і - не відомі, але відомі величини і

Тоді при умові, що оператор K має зворотний і

(6.6)

будемо мати
де Е – одиничний оператор, звідки

значить,

і

(6.7)

Коефіцієнт називається числом обумовленості рівняння.

Якщо (6.6) не виконується, то можна оцінити спадкову погрішність побічно, через нев’язку ідеального рівняння:

(6.8)

Тут - розв’язок рівняння (6.1). Якщо оператор K не має зворотного, то відношення (6.8) слід замінити на , де реалізує мінімум і просто деяке знайдене наближене рішення рівняння (6.1).

Отримане відношення дають детерміновані мажорантні апостеріорні оцінки спадкової погрішності. Помінявши ролями і K, аналогічним шляхом можна отримати відповідні апріорні оцінки. Проте для їх застосування необхідні апріорні відомості про величини і .

6.1.3. Прямі методи

Прямими називаються методи відомості вихідної задачі до задачі розв’язку лінійно алгебраїчних систем. Порядок цих систем являється зазвичай параметром, який вибирається в залежності від необхідної точності шуканого наближеного розв’язку.

10. Метод заміни ядра на вироджене. Нехай відомо, що

(6.9)

або

(6.10)

Якщо або , то (6.1) буде називатися рівняння з вирожденим ядром відповідно в просторі С або

Введемо рівняння з вирожденим ядром

(6.11)