Лабораторна робота №

“ Застосування теорії розмірностей та визначення коефіцієнтів подібності у МСПС ”

Задача 1. У циліндричній посудині площею перерізу S1 до рівня, розташованого на висоті h від дна, налита ідеальна (не володіюча в'язкістю) рідина густиною (мал. 1). У дні посудини є отвір площею перерізу S2. Визначити час витікання рідини t.

Рис. 1

Оскільки витікання відбувається під дією сили тяжіння, природно припустити, що в числі величин, які визначають процес, повинно бути присутнім прискорення вільного падіння. У даному випадку в принципі можлива присутність у шуканому зв'язку трансцендентної функції, що включає в аргумент величини h, S1 і S2 а ( і g по приведеним вище міркуванням у цей аргумент входити не можуть). Проте спробуємо і тут представити шуканий час у вигляді степеневого одночлена

де, як і вище, С – безрозмірний і невизначуваний коефіцієнт пропорційності, а р, q, r, k, l - підлягаючі визначенню показники степеня. Складемо рівняння розмірностей:

звідки, прирівнюючи показники степеня лівої і правої частин, одержимо систему рівнянь

Для визначення п'яти показників степеня ми маємо тільки три рівняння. Правда, два показники визначаються безпосередньо:

Це вже становить певний інтерес, так як показує, що час витікання не залежить від густини рідини і обернено пропорційний кореню квадратному від прискорення вільного падіння.

Для визначення інших показників степеня потрібно або мати додаткові дані, або зробити якісь припущення, які грунтуються на нашому представленні про хід процесу. Припустимо, що швидкість рідини в отворі не залежить від його перерізу. У цьому випадку час витікання повинен бути обернено пропорційним S2. Разом із тим час витікання при однаковому початковому рівні рідини h повинен бути пропорційним загальній масі рідини і, отже, S1. Це дає для показників k і l значення 1 і –1. При такому припущенні відразу визначається показник r = 1/2 і для часу витікання отримується наступний вираз:

Стосовно коефіцієнта С, то аналіз розмірностей не дає можливості його визначити. Розрахунок показує, що цей коефіцієнт дорівнює .

Задача 2. Два нескінченно тонких провідники нескінченної довжини розташовані взаємно перпендикулярно на відстані а один від одного (рис. 2). Провідники володіють рівномірним зарядом із лінійною густиною 1 і 2. Визначити силу взаємодії між провідниками).

Розв’яжемо задачу в Міжнародній системі одиниць (СІ). Розмірність заряду [Q] = Tі, отже, розмірність лінійної густини заряду L-1 T. Крім того, потрібно ввести електричну сталу 0, розмірність якої [0]-3  M-l T4 І2.

Рис. 

Очевидно, ніякі інші фізичні величини в розв’язок задачі не повинні входити. Рівняння розмірностей має вигляд

або

звідки для показників степеня одержуємо систему рівнянь

розв’язуючи яку знаходимо

Сила взаємодії

виявляється не залежною від відстані. Коефіцієнт С = 1/2 виходить при вирішенні задачі за допомогою закону Кулона.

Задача 3. Заряджені частинки, які покидають джерело Е, (іони або електрони) прискорюються різницею потенціалів U0 і вузьким пучком влітають у плоский конденсатор, паралельно до його пластин, на рівній відстані від обидвох пластин (рис. 3). Початкова швидкість заряджених частинок дорівнює нулю. Довжина пластин конденсатора дорівнює l, відстань між пластинами d. Яку мінімальну різницю потенціалів варто прикласти між пластинами конденсатора, щоб пучок не міг вийти за межі конденсатора? Відомий заряд Q частинки пучка і її маса m.

Рис. 

Потенціал прискорюючого електрода E збігається із потенціалом середньої площини між пластинами конденсатора, так що можна вважати, що між прискорюючим електродом і конденсатором поле не діє на частинки пучка.

Вирішуємо цю задачу також у Міжнародній системі одиниць. Запишемо рівняння розмірностей у вигляді

або

Тоді для показників степеня маємо систему рівнянь

звідки знаходимо

тобто показники степенів х та у залишаються невідомими. Результат може бути записаний у вигляді

Рівняння розмірностей показує, що заряд і маса частинки випали із остаточної формули не випадково. Цей висновок має більш широке значення. З нього випливає, що при заданій конфігурації електричного поля траєкторія руху зарядженої частки фіксованого знаку, початкова швидкість якої дорівнює нулю, не залежить від заряду і маси частинки. Цей висновок слід особливо підкреслити, тому що нерідко приходиться чути зовсім невірне твердження, що силова лінія електричного поля є нібито траєкторією руху зарядженої частки нескінченно малої маси.

Задача 4. Нехай потрібно знайти об'ємну витрату рідини QV, тобто об’єм, який щосекундно протікає по трубі, у якій створений поздовжній градієнт тиску dp/dl, якщо діаметр труби D, а в'язкість рідини . З чотирьох величин QV, dp/dl, і D, розмірності яких мають вигляд:

а для трьох можна встановити незалежні розмірності. Такими можуть бути розмірність довжини і будь-які дві розмірності із тих, що залишилися. Можна, зазвичай, скласти безрозмірну комбінацію і на основі базових основних величин – довжини L, маси M і часу T. Для вирішення задачі приймемо як незалежну розмірність довжини, часу і в'язкості, позначивши останню [] N. Тоді розмірність градієнта тиску буде [dp/dl]–1 T–1. З чотирьох розмірностей
L3–1, NL–1T–1, N і L при наявності трьох незалежних можна скласти єдину безрозмірну комбінацію

і, отже,

звідки

Це відома формула Пуазейля, у якій С = /128