Дипломна робота

на здобуття освітньо-кваліфікаційного рівня

спеціаліст

Багатоточкова задача для гіперболічного рівняння в циліндричній області

Зміст

Перелік умовних позначень………………………………………………….…...…3

Вступ……………………………………………………………………………....….4

Розділ І. Допоміжні відомості………………………………………………………7

1.1. Функціональні простори………………………………………………....7

1.2. Деякі результати метричної теорії чисел………….............…………....8

1.3. Огляд деяких результатів дослідження багатоточкових

крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь……………...…11

Розділ ІІ. Багатоточкова задача для гіперболічних рівнянь четвертого порядку

із змінними коефіцієнтами в циліндричній області………………......................14

2.1. Постановка задач……………………………………………………….14

2.2. Побудова формального розв’язку задачі……………………………...15

2.3. Єдиність розв’язку…………………………………………………….16

2.4. Умови існування класичного розв’язку та неперервна залежність від вихідних даних………………………………………………………………17

Висновки……………………………………………………………………………22

Список використаних джерел……………………………………………………..23

Перелік умовних позначень

- множина всіх цілих додатних чисел

- множина всіх цілих чисел

- множина всіх невід’ємних цілих чисел

- множина всіх дійсних чисел

- p – вимірний дійсний евклідів простір

- множина точок з цілими координатами

- множина точок з цілими невід’ємними координатами {y єY: P(y)} підмножина елементів Y, які мають властивість P(y)

обмежена однозначна область із

межа області

– сегменти

– інтервал

x = (,…,) і = () – довільні точки у просторах відповідно = , якщо t є R і x є

, є

,

Вступ

За останні роки велика увага звертається на дослідження некоректних задач, у тому числі й некоректних граничних задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними. Це викликане як потребами практики, так і чисто теоретичним інтересом дослідників.

З точки зору постановки граничних задач найбільш повно вивчені диференціальні рівняння з частинними похідними класичних типів та їх безпосередні узагальнення. Що стосується довільних рівнянь з частинними похідними, а також некласичних задач, то при їх вивченні одержані більш скромні результати.

Коректність граничних задач для деяких загальних диференціальних і диференціально - операторних рівнянь вивчається у різних аспектах в роботах А. А. Дезіна, В. К. Романко, Н. І. Юрчука, В. М. Борок та інших авторів, багато робіт присвячено також вивченню некласичних граничних задач для окремих диференціальних операторів з частинними похідними. У більшості з цих робіт виділені випадки коректно поставлених задач. Проте граничні задачі з даними на всій границі області (як і ряд інших задач) для загальних диференціальних операторів з частинними похідними є, взагалі кажучи, некоректними, а питання про їх розв’язність у багатьох випадках пов’язане з так званою проблемою малих знаменників. Прикладом сказаного є задача Діріхле для рівняння коливання струни, дослідженню якої присвячено багато робіт як вітчизняних, так і зарубіжних авторів; на некоректність цієї задачі у 1921 році вказав Ж. Адамар.

З проблемою малих знаменників вперше вчені зустрілись в небесній механіці ще у XVIII ст.[7] при математичних дослідженнях диференціалах рівнянь. Які описували рух планетних і супутникових систем у ньютонівських гравітаційних полях.

Математично ефект малих знаменників проявляється у тому, що у розв’язки рівнянь руху, представлені у вигляді рядів Фур’є, входить нескінченне число членів з коефіцієнтами, знаменники яких як завгодно близькі до нуля, що зумовлює розбіжність цих рядів, з динамічної точки зору у русі планет спостерігаються ефекти, які фізика і нелінійна механіка називають резонансними.

Питання про подолання негативного впливу малих знаменників, про збіжність рядів, пов’язаних з розв’язування задач, носило принциповий теоретичний характер і довгий час залишалось не вирішеним.

Перші позитивні результати у розв’язуванні даної проблеми на основі “метричного” підходу були одержані у 1939 році Д. Боржином і Р. Даффіном [30] при дослідженні задачі Діріхле для рівняння коливання струни, а у 1942 році – К. Л. Зеголем [5] для задачі про стійкість особливої точки типу центр. У 1953-1954 рр. А. Н. Колмогоров запропонував метричну концепцію і у всій повноті застосував її в задачі про рух на торі і в теорії динамічних систем.

В монографії Б. Й. Пташника [19] на основі метричної концепції досліджуються питання коректної постановки деяких некласичних задач для лінійних диференціальних рівнянь і систем гіперболічного та складеного типів:

1. аналога багатоточкової задачі;

2. задачі типу Діріхле;

3. задачі про періодичні та майже періодичні розв’язки;

4. нелокальних крайових задач.

Ці задачі є некоректними, а їх розв’язність пов’язана із проблемою малих знаменників; при цьому виникають знаменними складної нелінійної структури, що приводить до нових задач метричної теорії діофактових наближень.

У даній роботі досліджується багатоточкова задача для диференціальних рівнянь з частинними похідними четвертого порядку із змінними коефіцієнтами в циліндричній області. Встановлені умови існування, єдності і неперервної залежності від правої частини рівняння і граничних умов розв’язку розглядуваної задачі у відповідних функціональних просторах; одержана явна формула для розв’язку у вигляді ряду за системами ортогональних функцій.

Перший розділ має допоміжний характер. У ньому розглядається функціональні простори, деякі результати з теорії чисел, які використовуються в роботі, а також зроблено огляд деяких результатів дослідження багато точкових задач для звичайних диференціальних рівнянь та рівнянь з частинними похідними.

У другому розділі досліджується поставлена задача у випадку багатьох просторових змінних, встановлюються умови існування і єдності розв’язку, вирішується проблема малих знаменників. Щоб глибше розкрити природу задачі, окремо аналізується її аналог у випадку однієї просторової змінної.

Розділ I

Допоміжні відомості

1.1. Функціональні простори

Розглянемо функціональні простори, які використовуються в роботі, і наведемо деякі відомості теоретико - числового характеру, на яких базується аналіз оцінок малих знаменників, які з’являються при вивченні питань розв’язності задач, що розглядаються в даній роботі.

- бананів простір функцій, неперервних разом з усіма похідними до порядку включно в компактній області , з нормою

(1)

,

де

- банахів простір функцій з нормою

(2)

- гільбертів простір функцій із скалярним добутком , який індукує норму

(3)

- гільбертів простір із скалярним добутком

(4)

який породжує норму

де

- гільбертів простір функцій

таких, що функція для кожного належить простору і