(5)

1.2. Деякі результати метричної теорії чисел

Дослідження найпростіших малих знаменників пов’язане з питаннями апроксимації ірраціональних чисел раціональними, тобто з оцінкою малості різниці ,

де

- ірраціональне число, .

Виявляється, що існують ірраціональні числа, які обмежуються раціональними з як завгодно великою наперед заданою точністю. Це стверджує теорема А. Я. Хінчіна [27], яка доводиться за допомогою апарата ланцюгових дробів.

Теорема 1.1 Якою б не була додатна функція натурального аргумента існує ірраціональне число , для якого нерівність має безліч розв’язків в цілих і .

Кожному ірраціональному числу відповідає єдиний ланцюговий

дріб, що має це число своїм значенням:

.

Теорема 1.2 Для будь – якого ірраціонального числа з обмеженими елементами розкладу у ланцюговий дріб нерівність

(1.1)

при достатньо малому не має розв’язків у цілих . Проте для будь-якого числа з необмеженим рядом елементів нерівність (1.1) при довільному має безліч таких розв’язків.

Інакше кажучи, ірраціональності з обмеженими елементами допускають порядок апроксимації не вище ; будь-яка ірраціональність з необмеженими елементами допускає більш високий порядок апроксимації.

Нехай - многочлен -го степеня з цілими коефіцієнтами. Якщо число задовольняє рівняння і не задовольняє жодне з рівнянь нижчого степеня (з цілими коефіцієнтами), то його називають алгебраїчним числом степеня . Розглянемо питаня про апроксимацію алгебраїчних ірраціональностей. Першим значним результатом у цьому напрямі була теорема Ліувілля.

Теорема 1.3 Для будь-якого дійсного ірраціонального алгебраїчного числа степення існує таке додатнє число , що при довільних цілих і

(1.2)

Доведення теорем 1.2 і 1.3 містяться в роботі [27].

Уточненням теореми 1.3 є теорема Туе-Зігеля-Рота.

Теорема 1.4 Нехай - алгебраїчне число степеня . Тоді для будь-якого існує тільки скінченне число раціональних дробів таких, що

(1.3)

Доведення теореми міститься в роботі [27].

Надалі необхідними будуть деякі відомості з метричної теорії діофантових наближень. Вперше метричний підхід до вивчення діофантових наближень був здійснений Е. Борелем [29] у 1912р.,який довів, що міра Лебега множини тих дійсних чисел , для яких існує нескінченне число розв’язків нерівності

у цілих числах , рівна нулю при довільному дійсному .

Великим кроком в узагальнені результати Е. Бореля була теорема Хінчина [27], сформульована ним у 1924р.

Теорема 1.5 Нехай - додатня неперервна функція додатнього аргумента , причому - функція не зростаюча.

Тоді нерівність

(1.4)

має для майже всіх безліч розв’язків у цілих і , якщо при деякому інтеграл

(1.5)

розбіжний; проте, нерівність (1.4) має для майже всіх не більше скінченного числа розв’язків у цілих і , якщо інтеграл (1.6) збіжний.

Для доведення даної теореми використовувалась лема Бореля-Кантелі, доведення якої міститься в роботі [25].

Широке застосування при дослідженні малих знаменників знаходить наступна лема.

Лема 1.1 Нехай

(1.6)

для майже всіх (в сенсі міри Лебега) чисел має не більш ніж скінченне число розв’язків у цілих .

Доведення. Позначимо через множину тих , для яких нерівність (1.6) має безліч розв’язків у цілих числах . Зафіксуємо вектор . Тоді відповідні йому значення , для яких виконується нерівність (1.6), заключені в інтервалі

(1.7)

Зафіксуємо деяке ціле значення з інтервала (1.7).

Очевидно, що

,

де

- додатння константа, що не залежить від .

Тоді міра множини чисел , для яких справедлива нерівність (1.6) при фіксованих і , має оцінку

(1.8)

З нерівностей (1.7) і (1.8) випливає, що для міри множини чисел , для яких нерівність (1.6) при фіксованому має розв’язки у цілих числах , справедлива оцінка

(1.9)

Сумуючи оцінку (1.9) по всіх векторах , одержимо

(1.10)

1.3. Огляд деяких результатів дослідження багатоточкових крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь.

Аналог багатоточкової задачі для диференціальних рівнянь з частинними похідними є узагальненням -точкової задачі для звичайних диференціальних рівнянь як з математичної, так і з точки зору фізичної інтерпретації.

Відомо, що для рівняння

(2.1)

з неперервними на відрізку коефіцієнтами існує єдиний розв’язок, який задовільняє початкові умови

.

Однак у багатьох областях природознавства виникають задачі про відшукання розв’язку рівняння (2.1), коли не всі початкові умови задані в одній точці. Наприклад, потрібно знайти розв’язок рівняння (2.1), який проходить через заданих точок , тобто задовільняє умови

, (2.2)

Приклад такої задачі зустрічається ще в роботах Коші. Якщо в умовах (2.2) точок нескінченно близькі до точки , то в цій точці задають значення похідних .

Тоді приходимо до задачі з умовами

, (2.3)

які є узагальненням умов (2.2). Задачу з умовами (2.2) або (2.3) називають ще інтерполяційною.

Вперше багатоточкову задачу у загальній постановці для рівняння (2.1) з інтегровними на проміжку коефіцієнтами досліджував Я. Д. Тамаркін. Ця задача полягає у знаходженні розв’язку рівняння (2.1), задовольняє багатоточковим умовам виду

(2.4)

де

- точки з проміжка - функції інтегровані в . Припускається, що функціонали - лінійно незалежні. Для рівняння 4-го порядку аналогічна задача була сформульована М. Піконе у 1909р.

Окремими випадками задачі, розглянутої Я. Д. Тамаркіним, є задача Коші, двохточкова крайова задача, інтерполяційна крайова задача та її узагальнення, а також задачі з інтегральними крайовими умовами.

У дисертації А. Ю. Левіна [12] вивчається ряд питань, пов’язаних із багатоточковою задачею для рівняння (2.1) із крайовими умовами вигляду

(2.5)

де

- різні точки відрізка .

Розв’язок задачі виражається за допомогою функції Гріна відповідної однорідної задачі, вивчаються також диференціальні властивості функції Гріна.

В. Я. Скоробогатько і О .І .Бобик [1] вивчали - точкову задачу в зв’язку з розкладом звичайних диференціальних операторів на множини першого порядку.

Розділ ІІ

Багатоточкова задача для гіперболічних рівнянь четвертого порядку із змінними коефіцієнтами в циліндричній області.

2.1. Постановка задачі

В області , розглянемо задачу

, (2.1)

(2.2)

(2.3)

де

- межа області , -