Вважаємо, що в умовах (2.2) точки фіксуються через рівні проміжки часу

(2.4)

Означення 2.1. Узагальненим розв’язком задачі (2.1) – (2.3) будемо називати таку функцію , яка задовольняє умови:

Надалі, говорячи про розв’язок задачі (2.1) – (2.3), матимемо на увазі її узагальнений розв’язок.

2.2. Побудова формального роз’язку задачі

Розв’язок задачі (2.1) – (2.3) представляється у вигляді ряду

(2.5)

де

- розв’язок задачі

(2.1')

, (2.2')

а - власні нормовані функції задачі

(2.6)

(2.7)

Для власних значень задачі (2.6) – (2.7) справедливі оцінки

(2.8)

де

- деякі константи.

Кожна з функцій визначається як розв’язок наступної крайової задачі:

(2.9)

(2.10)

де

(2.11)

Характеристичне рівняння, що відповідає рівнянню (2.9), має вигляд

.

Звідси маємо фундаментальну систему розв’язків рівняння (2.9):

(2.12)

а розв’язок задачі (2.9), (2.10) запишеться у вигляді

(2.13)

де коефіцієнти визначаються із системи рівнянь

,

Визначник якої позначимо .

2.3. Єдиність розв’язку

При дослідженні питання про єдиність розв’язку розглядуваної задачі будемо використовувати однорідні умови

(2.10')

Теорема 2.1. Для єдиності розв’язку задачі (2.1) – (2.3) у просторі необхідно і достотньо, щоб виконувалась умова

. (2.15)

Доведення. Необхідність. Якщо для деякого , то задача (2.9), (2.10') має нетривіальний розв’язок

,

де

- нетривіальні розв’язки однорідної системи, яка відповідає системі (2.14). тоді однорідна задача (2.1'), (2.2'), (2.3) теж має нетривіальний розв’язок

і розв’язок задачі (2.1) – (2.3) (якщо він існує) не буде єдиним.

Достатність. Припустимо, що існують два розв’язки і задачі (2.1) - (2.3) із простору .

Тоді функція

буде розв’язком задачі (2.1'), (2.2'), (2.3) і разом з функціями і розкладається в ряд Фур’є за системою функцій ; при цьому ряди для функцій і співпадають з рядами, одержаними формальними застосуванням операторів і до ряду для функції . З рівностей Парсеваля для функцій і випливає, що кожний з коефіцієнтів Фур’є функції є розв’язком однорідної задачі (2.9), (2.10'). Якщо , то всі . Тому .

Теорема доведена.

2.4. Умови існування класичного розв’язку та неперервна залежність від вихідних даних

Обчислимо визначник системи (1.14), отримаємо (за формулами Крамера)

. (2.16)

З формули (2.16) та теореми 2.1 випливає наступне твердження.

Теорема 2.2 Для єдності розв’язку задачі (2.1)-(2.3) у просторі необхідно і достатньо, щоб виконувались умови:

(2.17)

Розглянемо питання про існування розв’язку задачі (2.1) – (2.3).

Якщо виконуються умови (2.17), то система (2.14) має єдиний розв’язок:

(2.181)

(2.182)

(2.183)

, де

, , ,

, (2.184)

Підставивши вирази (2.181) – (2.184) у формули (2.13), одержимо розв’язок задачі (2.9) і (2.10).

Отже, розв’язок задачі (2.1) –(2.3) формально зображається рядом

(2.19)

Лема 2.1 Нерівності

, , (2.20)

справджується для всіх

де

.

Доведення. Очевидно, що

,

тоді

(2.21)

де

На підставі оцінок

(2.22)

враховуючи, що при , звідси випливає, що ,

тоді

.

Отже, , а .

Отже, з цього ми отримаємо доведення леми.

Теорема 2.3 Нехай оцінюють сталі і такі, що для всіх (крім

скінченного числа) значень виконується нерівність

(2.23)

і нехай функції задовольняють умову

(2.24)

де

.

Тоді існує розв’язок задачі (1) – (3), який належить простору .

Доведення. Якщо задовольняє умову теореми, то (2.25)

Справді, із формули (2.11) маємо (2.26)

Оскільки - самоспряжений оператор, то , .

Звідси

, (2.27)

Отже, звідси випливає оцінка для норми функції :

, (2.28)

де - стала.

Із збіжності числових рядів у правій частині (2.28) випливає доведення теореми.

Теорема доведена.

З’ясуємо, коли виконується оцінка (2.23).

Зазначимо, що

(2.29)

де - ціле число, що задовольняє нерівність .

Нерівність (2.29) випливає з того, що для всіх значень виконується нерівність . Тоді .

Висновки

У дипломній роботі вивчається багатоточкова задача за виділеною змінною для лінійних гіперболічних, безтипних рівнянь та систем рівнянь зі змінними за коефіцієнтами у циліндричній області з довільною обмеженою основою з умовами типу умов Діріхле на її бічній поверхні.

На основі методу Фур’є конструктивно побудовані формули для розв’язання задачі у вигляді рядів за системами ортогональних функцій. У відповідних функціональних просторах встановлені умови існування, єдності та неперервної залежності від правих частин рівнянь та правих частин багато точкових умов розв’язків розглядуваної задачі. Як і для рівнянь із сталими коефіцієнтами, у гіперболічному випадку для існування розв’язку достатньо, щоб початкові функції були гладкими.

Задача яка розглядалася в другому розділі є умовно коректною, а її розв’язність пов’язана з проблемами малих знаменників, для вирішення яких використано метричний підхід.

Список використаних джерел

Бобик О. І., Боднарчук П. І., Пташник Б. Й., Скоробогатько В. Я. Елементи якісної теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними. – К.: Наук. думка, 1972. – 175 с.

Борок В. М. Классы единственности решения краевой задачи в бесконечном слое. – Докл. АН СССР, 1968, 183, №5, с. 995-998.

Борок В. М. Классы единственности решения краевой задачи в бесконечном слое для систем линейных уравнений в частных производных с постоянными коэфициентами. – Мат. сб., 1969, 79, №2, с. 293-304.

Валицкий Ю. Н. Четырехточечная задача дифференциального уравнения в банаховом пространстве. – Функцион. анализ, 1981, 15, вып. 4, с. 69-70.

Вахания Н.Н. О задаче Дирихле для уравнения колебания струни. – Сообщ. АН ГССР, 1958, 21, №2, с. 131-138.

Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1966. – 576 с.

Гребенников Е. А., Рябов Ю. А. Резонансы и малие знаменатели в небесной механикею – М.: Наука, 1978. – 127 с.

Дезин А. А. Общие вопроси теории граничных задач. – М.: Наука, 1980. – 208 с.

Дезин А. Л. Об операторных уравнениях второго порядка. – Сиб. мат. журн., 1978, 19, №5, с. 1032-1042.

Ковач Ю. И., Голь М. М. К вопросу о краевой задаче Вале-Пуссена для линейной системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом (часть 1). Дрогобыч, 1977, с. 1-42. Рукопись деп. в ВИНИТИ, №7970-77 Деп.

Ковач Ю. И., Галь